如何理解Minkowski不等式

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2017/02/16

Minkowski不等式：

设$f$是$\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n$上的Lebesgue可测函数，则对任意$1 \leq p < +\infty$，有$$\left( \int_{\mathbb{R}^n} \left| \int_{\mathbb{R}^n} f(x,y)\mathrm{d}y \right|^p \mathrm{d}x \right)^{1/p} \leq \int_{\mathbb{R}^n}  \left( \int_{\mathbb{R}^n} \left| f(x,y) \right|^p \mathrm{d}x \right)^{1/p} \mathrm{d}y.$$

如何理解这个不等式呢？我们将$f(x,y)$中的$y$看作给定，于是$f(x,y)$就是关于$x$的函数。对于固定的数$y_1, \cdots, y_m$，我们可以得到$m$个关于$x$的函数$f(\cdot,y_1), \cdots, f(\cdot,y_m)$。由于$p-$范数$\|\cdot\|_{L^p(\mathbb{R}^n)}$满足三角不等式，因此我们有$$\|f(\cdot,y_1) + \cdots + f(\cdot,y_m)\|_{L^p(\mathbb{R}^n)} \leq \|f(\cdot,y_1)\|_{L^p(\mathbb{R}^n)} + \cdots + \|f(\cdot,y_m)\|_{L^p(\mathbb{R}^n)}.$$将这个式子写成积分形式，就是$$\left( \int_{\mathbb{R}^n} \left| \sum_{i=1}^m f(x,y_i) \right|^p \mathrm{d}x \right)^{1/p} \leq \sum_{i=1}^m  \left( \int_{\mathbb{R}^n} \left| f(x,y_i) \right|^p \mathrm{d}x \right)^{1/p}.$$

现在，我们将“对变量$y_i$从1到$m$的求和”推广为“对变量$y$在整个空间$\mathbb{R}^n$上的求和(也就是对$\mathbb{R}^n$上的积分)”，于是我们就可以得到$$\left( \int_{\mathbb{R}^n} \left| \int_{\mathbb{R}^n} f(x,y)\mathrm{d}y \right|^p \mathrm{d}x \right)^{1/p} \leq \int_{\mathbb{R}^n}  \left( \int_{\mathbb{R}^n} \left| f(x,y) \right|^p \mathrm{d}x \right)^{1/p} \mathrm{d}y.$$

(注：以上并不是对Minkowski不等式的严谨的证明，而只是帮助理解的解释而已。不过严谨的证明就是从上面这个思路来的。)