CF402E Strictly Positive Matrix(矩阵,强联通分量)
题意
给定一个 n∗n 的矩阵 A,每个元素都非负判断是否存在一个整数 k 使得 A^k 的所有元素 >0 n≤2000(矩阵中[i][i]保证为1)
题解
考虑矩阵$A*A$的意义 ,设得到的矩阵为B矩阵中的一个元素$B[i][j]=\sum_{k=1}^{n}A[i][k]*A[k][j]$,$A[i][k]*A[k][j]$非负当且仅当$A[i][k]$和$A[k][j]$非负。
这跟$弗洛伊德$差不多,枚举中间点,我们把$A[i][j]$非负理解为一个图中有一条$A$从$i$到$j$的边,$A^k$中$A[i][j]$就代表从i到j有没有一条长度小于等于$k$的路径。
此题本质上就是问根据所给矩阵建图,是否全图为一个强联通分量。
所以就上$Tarjan$模板就行了
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=;
int cnt,head[N];
int dfn[N],low[N],stack[N],top,tot,vis[N],num,c[N];
int n;
struct edge{
int to,nxt;
}e[];
void add(int u,int v){
cnt++;
e[cnt].nxt=head[u];
e[cnt].to=v;
head[u]=cnt;
}
void Tarjan(int u){
dfn[u]=low[u]=++tot;
stack[++top]=u;
vis[u]=;
for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
int v=e[i].to;
if(dfn[v]==){
Tarjan(v);
low[u]=min(low[u],low[v]);
}
else if(vis[v])low[u]=min(low[u],dfn[v]);
}
if(dfn[u]==low[u]){
int x;
num++;
do{
x=stack[top--];
c[x]=num;
vis[x]=;
}while(u!=x);
}
}
int main(){
scanf("%d",&n);
for(int i=;i<=n;i++)
for(int j=,a;j<=n;j++){
scanf("%d",&a);
if(i==j||a==)continue;
add(i,j);
}
for(int i=;i<=n;i++){
if(dfn[i]==)Tarjan(i);
}
for(int i=;i<=n;i++){
if(c[i]>){
printf("NO");
return ;
}
}
printf("YES");
return ;
}
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