POJ2689 Prime Distance 质数筛选

题目大意

求区间[L, R]中距离最大和最小的两对相邻质数。R<2^31, R-L<1e6。

总体思路

本题数据很大。求sqrt(R)的所有质数，用这些质数乘以j, j+1, j+2...k（j和k使得积属于[L,R]）筛选出[L,R]中的合数，然后在[L,R]的质数中得到所求。

筛法求质数

为在O(n)的时间复杂度中求得质数，我们要使筛选时每个可能为质数的数只访问一次。我们用v[i]表示i的最小质因数。每次循环到i时，假设v[i]和小于i的质数都已经在前面求出来了，若v[i]==0，则i是个质数。然后对于每个不大于v[i]的已知质数p，令v[i*p]=p。

不漏

证明：若i+1是个合数，则在处理i+1以前v[i+1]便已知。i+1必然可以化为若干个质数的积，记此质数的集合为P其中最小的质数为a，剩余质数的积为x。显然a<=x<=i。i之前循环到x时，a必然存在于已经求出的质数集合当中（因为a<=x），且a不大于v[x](因为a是P中最小的)。所以一定能由a*x得到i+1。

不重

证明：如果不要求p<=v[i]，则值p*i会重复计算若v[i]<=p<=i，则在i循环之前必会循环到p，那个时候就把v[i]*p给算了。

注意

• 本题中质数是从2开始的。
• [L,R]质数中找所求时，避免1的出现，不能直接改循环初始条件。
• 筛选合数时，j至少为2，否则素数乘以1还是素数，我们却把它设成合数了。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <cstdarg>
#include <algorithm>
using namespace std;
 
const int INF = 0x3f3f3f3f, MAX_RANGE = 1000010, MAX_SQRT_N = 1 << 16;
#define LOOP(i, n) for(int i=0; i<n; i++)
#define LoopFrom(i, l, r) for(int i=l; i<r; i++)
#define LoopDown(i, n) for(int i=n-1; i>=0; i--)
 
int GetPrime(int *ans, int n)
{
	static int v[MAX_SQRT_N];
	memset(v, 0, sizeof(v));
	int ansCnt = 0;
	LoopFrom(i, 2, n + 1)
	{
		if (!v[i])
		{
			ans[ansCnt++] = i;
			v[i] = i;
		}
		for (int j = 0; j < ansCnt && ans[j] <= v[i] && ans[j] <= n/i; j++)
			v[ans[j] * i] = ans[j];
	}
	return ansCnt;
}
 
void Proceed(int l, int r)
{
	static int a[MAX_SQRT_N];
	static bool IsPrime[MAX_RANGE];
	memset(a, 0, sizeof(a));
	memset(IsPrime, false, sizeof(IsPrime));
	LOOP(i, r - l + 1)
		IsPrime[i] = true;
	int len = GetPrime(a, sqrt((double)r)+0.5);
	LOOP(i, len)
		LoopFrom(j, max((l / a[i])*a[i] < l ? l / a[i] + 1 : l / a[i], 2), r / a[i] + 1)
		    IsPrime[a[i] * j - l] = false;
	int minDist = INF, maxDist = 0, prev = -1;
	int c1=0, c2=INF, d1=0, d2=-INF;
	LoopFrom(i, 0, r - l + 1)
	{
		if (IsPrime[i] && i+l>1)
		{
			if (prev == -1)
			{
				prev = i;
				continue;
			}
			if (i - prev < c2 - c1)
			{
				c1 = prev;
				c2 = i;
			}
			if (i - prev > d2 - d1)
			{
				d1 = prev;
				d2 = i;
			}
			prev = i;
		}
	}
	if (c2 == INF)
		printf("There are no adjacent primes.\n");
	else
		printf("%d,%d are closest, %d,%d are most distant.\n", c1+l, c2+l, d1+l, d2+l);
}
 
int main()
{
	int l, r;
	while (~scanf("%d%d", &l, &r))
		Proceed(l, r);
	return 0;
}

筛法求质数2

void GetPrime(int *prime, int n)
{
	static bool NotPrime[MAX_N];
	memset(NotPrime,false,sizeof(NotPrime));
	int primeCnt=0;
	for(int i=2; i<=n; j++)
	{
		if(!NotPrime[i])
			prime[primeCnt++]=i;
		for(int j=0; j<primeCnt; j++)
		{
			if(i*prime[j]>N)
				break;
			NotPrime[i*prime[j]]=true;
			if(i%prime[j]==0)
				break;
		}
	}
}　

不重

原则：对于一个数n都由它的最小质因数p和某一个数i相乘得到。

n的最小质因数只有1个，所以n只被访问了一次。

不漏

证明：对于n=p*i，p是n的最小质因数，当外层循环到当前i时，p一定会在循环j时被访问到。

因为n的质因数集合包含i的质因数集合，所以p小于等于i的最小质因数，而循环到当前i时，所有小于i的质数都求出来了，包含着i的最小质因数，故命题成立。