[USACO09JAN] 气象测量/气象牛The Baric Bovine 解题报告(DP)
题目链接:https://www.luogu.org/problemnew/show/P2933
Description
Betsy想找出一部分测量结果来总结整天的气压分布. 她想用K(1 <= K <= N)个数s_j
(1 <= s_1 < s_2 < ... < s_K <= N)来概括所有测量结果. 她想限制如下的误差:
对于任何测量结果子集,每一个非此子集中的结果都会产生误差.总误差是所有测量结果的误差之和.更明确第说, 对于每一个和所有s_j都不同的i:
* 如果 i 小于 s_1, 误差是:2 * | M_i - M_(s_1) |
* 如果i在s_j和s_(j+1)之间,误差是:| 2 * M_i - Sum(s_j, s_(j+1)) |
注:Sum(x, y) = M_x + M_y; (M_x 和 M_y 之和)
* 如果i大于s_K,误差为:2 * | M_i - M_(s_K) |
Besty给了最大允许的误差E (1 <= E <= 1,000,000),找出最小的一部分结果使得误
差最多为E.
Input
第2..N+1行: 第i+1行包含一次测量记录:M_i
Output
Sample Input
4 20
10
3
20
40
Sample Output
2 17
题目大意就是给你一个集合,告诉你如何判定它的子集是否合法并让你找到一个最优子集
解法:
首先我们预处理出一个数组pre,pre[i][j]保存在i到j之间元素对误差的贡献,即我们枚举z(j-1>=z>=i+1),计算abs(2*m[z]-m[i]-m[j])
特殊的是,我们还需要处理出pre[i][0]和pre[i][n+1],分别表示在i之间和在i之后的元素对误差的贡献(感觉贡献这个词怪怪的)
预处理时间复杂度O(n3)
考虑如何DP
定义DP[i][j]表示前j个元素,必选第j个元素,总共选择了i个产生的最小误差。为什么把i放在前,j放在后呢?因为我们首先最小化的是子集的大小。状态转移方程就是:
dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i-1][q]+sum)(i-1<=q<=j)
我们有sum=-pre[q][n+1]+pre[q][j]+pre[j][n+1](之前我们是把q当成是子集的结尾并加上了它之后对误差的贡献,于是此时我们减去这个值改为用j来作为最后一个元素)
DP时间复杂度O(n3)
注意i=1的情况我们提前处理出来就是了
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<math.h>
#define ri register int
#define ll long long
using namespace std; const int maxn=+;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int n,e,k;
ll ans;
int m[maxn];
ll dp[maxn][maxn],pre[maxn][maxn];
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&e);
for (ri i=;i<=n;i++)
scanf("%d",&m[i]);
for (ri i=;i<=n;i++)
{
for (ri j=i+;j<=n;j++)
for (ri k=i+;k<=j-;k++)
pre[i][j]+=abs(*m[k]-m[i]-m[j]);
for (int j=;j<i;j++) pre[i][]+=*abs(m[j]-m[i]);
for (int j=i+;j<=n;j++) pre[i][n+]+=*abs(m[j]-m[i]);
}
k=n;ans=inf;
for (ri i=;i<=n;i++)
{
dp[][i]=pre[i][]+pre[i][n+];
if (dp[][i]<=e)
{
k=;
if (dp[][i]<ans) ans=dp[][i];
}
}
for (ri i=;i<=n;i++)
{
for (ri j=i;j<=n;j++)
{
dp[i][j]=inf;
for (ri q=i-;q<j;q++)
{
int sum=-pre[q][n+]+pre[q][j]+pre[j][n+];
dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i-][q]+sum);
}
if (dp[i][j]<=e)
{
if (i<k) {k=i;ans=dp[i][j];}
if (i>k) continue;
if (i==k) ans=min(ans,dp[i][j]);
}
}
}
printf("%d %lld\n",k,ans);
return ;
}
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