SG函数学(hua)习(shui)记录
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听说有一个东西叫SG函数
觉得自己好像原来是懂一些粗浅的应用但现在感觉要再深♂入一点呢
让我们先来介绍一下SG函数吧
这是某类满足下列条件的玄学博弈问题解法
- 双人、回合制;
- 信息完全公开(perfect information);
- 无随机因素(deterministic);
- 必然在有限步内结束(finite);
- 没有平局;
- 双方可采取的行动相同(impartial);
- 无法行动者判负(normal play);
具体证明可以见https://zhuanlan.zhihu.com/p/20611132?columnSlug=maigo
那么我们现在有一个函数SG[i]表示某种状态的SG函数
且有SG[i] = mex{SG[k] | k->i(k是i的下一级状态)} SG[i] = SG[a1]^SG[a2]^SG[a3]^...^SG[ak] (a1...ak是组成状态i的子状态)
如果SG[i] == 0 那么 i 是一种必败态,不然是一种必胜态
于是介绍完了
下面上例题
http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1022
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
int main()
{
int T,n,i,x,SG,flag;
scanf("%d",&T);
for(;T>;T--)
{
scanf("%d",&n);
SG=flag=;
for(i=;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&x);
SG^=x;
if(x!=) flag=;
}
if( (SG==&&flag==) || (SG!=&&flag==) ) printf("John\n");
else printf("Brother\n");
}
return ;
}
BZOJ 1022
这是一道最简单的SG函数题,连SG函数都不用存就可以一路推推推推出终态的SG函数
http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4035
#include<bits/stdc++.h>
#define N 100010
using namespace std;
int n,T,SG1[N],SG2[N],m; int read(){
int f = ; char ch = getchar();
while (ch > '' || ch < '' ) ch = getchar();
while (ch <= ''&& ch >= '') {
f = f* + ch - '';
ch = getchar();
}
return f;
} int nxt(int x,int y){ return (x==y)?y+:y/(y/(x+)); } void GetSG(){
int now,cnt,a[N]; bool bo[N];
memset(SG1,,sizeof(SG1));
memset(bo,,sizeof(bo));
memset(SG2,,sizeof(SG2));
for (int i=; i<=n; i=nxt(i,n)){
now=cnt=;
for (int j=; j<=i; j=nxt(j,i)){
int x=i/j; int t=(x>m)?SG2[n/x]:SG1[x];
a[++cnt]=now^t; bo[a[cnt]]=;
if ((i/x-i/(x+))&) now^=t;
}
now=; while (bo[now]) now++;
(i <= m) ? SG1[i] = now : SG2[n/i]=now;
for (int j=; j<=cnt; j++) bo[a[j]]=;
}
} int main(){
n = read(); T = read(); m = (int)sqrt(n); GetSG();
while (T--){
int cnt = read(),ans = ,x;
for (int i = ; i <= cnt; i ++){
x = n/read();
ans^=(x>m)?SG2[n/x]:SG1[x];
}
puts((ans)?"Yes":"No");
}
}
BZOJ4035
这题可以对每一个白格子位置搞SG:SG[i]=mex{SG[i*1]^SG[i*2]^...^SG[i*k]},k∈[2,N/i]
但是我们会发现状态太多存不下
所以我们可以再推一推,发现每个SG函数只和n/i有关,所以状态数就变成了N^0.5个,大于N^0.5的状态就存在n/i里就好了
然后对于每一个状态,有很多状态都是冗余的,不需要计算,所以在循环的时候直接写成像这样就好了:
for (int i = ; i <= n; i = n/(n/(i+))) // 记得判 i == n时不要让程序计算n/(n/(i+1))不然会除0
——————————————————————————————————未完待 θ.θ 续——————————————————————————————————
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