Python二分法查找及变种分析

基于Python3

普通二分法查找目标值的index

二分法查找的思路很简单，先确定好列表nums的一头start一尾end，中间值middle根据头尾数值之和用地板除法除以2，即(start + end) // 2。将目标值target与nums[middle]进行比对，这时候有3种结果：

1. nums[middle] > target
2. nums[middle] < target
3. nums[middle] = target

以上3种情况前2种不断循环，直到满足第3种跳出循环。

情况1

说明target在前半段，所以end=middle-1

情况2

说明target在后半段，所以start=middle+1

情况3

说明target就是nums[middle]，所以返回middle，这是跳出循环的方式之一

所以到此可以写出循环体中的代码，如下：

       middle = (start + end) // 2
    		if target > nums[middle]:
    			start = middle + 1
    		elif target < nums[middle]:
    			end = middle - 1
    		else:
    			return middle

但是，万一一直达不到第3种的条件呢？即target压根不在列表nums中，这就出现了情况4

情况4

我们循环到最后阶段一定是start=middle-1=end-2，即start与middle与end紧挨着。这时候，我们将start，middle，end代入if语句进行分析，

1. nums[middle] > target,所以赋值end=middle-1，这时end且又和start相等
2. nums[middle] < target,所以赋值start=middle+1，这时start且又和end相等

那么此时还有最后一个值需要判断，以上2种情况再代入循环体，此时有start=end=middle。若没有nums[middle]=target，则跳出循环(此为跳出循环的方式之二)返回-1

很明显，start与end一直互相逼近，但是start一直小于end的，要不要加上等于这个条件呢？别忘了只有start=end，才能够对列表中的最后一个元素进行判断。

完整代码如下：

def binarySearch(nums, target):
    	start = 0
    	end = len(nums) -1
    	while start <= end:
    		middle = (start + end) // 2
    		if target > nums[middle]:
    			start = middle + 1
    		elif target < nums[middle]:
    			end = middle - 1
    		else:
    			return middle
    	return -1

if __name__ == "__main__":
    	List = [1,4,4,5,7,7,8,9,9,10]
    	print(List)
    	print(binarySearch(List, 1))

# output
# [1, 4, 4, 5, 7, 7, 8, 9, 9, 10]
# 0

变种二分法查找

给定一个排序的整数数组（升序）和一个要查找的整数target，用O(logn)的时间查找到target第一次出现的下标（从0开始），如果target不存在于数组中，返回-1。

普通的二分查找只要找到target就行了，这个必须考虑到列表中重复的元素。

也就是说，即便找到了也不能跳出循环体。那么怎样才能跳出循环体呢？

别忘了跳出循环的方式有2种，刚才只是封住了第1种，还有第2种呢。即while的设置条件。很明显，start小于end是必须的循环条件的，而start大于end肯定是跳出循环的条件，那么start=end是跳出还是不跳出呢？首先要清楚start=end的意义是什么，即经过迭代此时列表nums中的选择区域变成了一个元素，循环的作用是将这最后一个元素选出来。

跳出循环，去判断是哪种可能。这个元素只有2种可能：不满足target或者是满足target的第一个元素。

可能一：不满足target的过程

注意，和普通二分法情况一样，循环到最后阶段一定是start=middle-1=end-2，即start与middle与end紧挨着。这时候，我们将start，middle，end代入if语句进行分析，

1. nums[middle] > target,所以赋值end=middle-1，这时end且又和start相等
2. nums[middle] < target,所以赋值start=middle+1，这时start且又和end相等
   
   此时start=end，跳出循环，判断不满足target，需要return -1

可能二：满足target的第一个元素的过程

如何确定是满足target的第一个元素？

先明白循环中找到第一个等于target的nums[middle]元素不跳出循环应该做什么。很明显，应该搜寻nums[start:middle]区域，所以要赋值end=middle，即搜寻新的nums[start:end]区域。再次循环，此时只剩下2种结果，再找到等于target的nums[middle] 或者 找不到了

结果1再找到等于target的nums[middle]

• 第一步得到middle = (start + end) // 2
• 有target = nums[middle]
• 赋值end=middle
• 进入新的循环，搜寻新的nums[start:end]区域，依然面临2种结果

结果2再找不到等于target的nums[middle]

• 第一步得到middle = (start + end) // 2
• 一定有nums[middle] < target而不是nums[middle] > target,因为nums是递增的。
• 此时start = middle + 1
• 进入新的循环，搜寻新的nums[start:end]区域，依然面临2种结果

以上2种结果互相交错，循环到最后阶段一定是start=middle-1=end-2，即start与middle与end紧挨着。这时候，我们将start，middle，end代入if语句进行分析，

1. nums[middle] < target,所以赋值start=middle+1，这时start且又和end相等，此时start=end，跳出循环，判断nums[start] == target，需要return start。
2. nums[middle] = target,所以赋值end=middle，得到start=middle-1，再带入循环，有middle = (start + end) // 2，得到start=middle=end-1。
   
   此时最后一步又分为二，1若nums[middle] < target,所以赋值start=middle+1，这时start且又和end相等，此时start=end，跳出循环，判断nums[start] == target，需要return start。2若nums[middle] = target,所以赋值end=middle，得到start=middle=end，跳出循环，判断nums[start] == target，需要return start。

def binarySearch(nums, target):
    	start = 0
    	end = len(nums) -1
    	while start < end:
    		middle = (start + end) // 2
    		if target > nums[middle]:
    			start = middle + 1
    		elif target < nums[middle]:
    			end = middle - 1
    		else:
    			end = middle
    	if nums[start] == target:
    		return start
    	return -1

if __name__ == "__main__":
    	List = [1,4,4,5,7,7,8,9,9,10]
    	print(List)
    	print(binarySearch(List, 4))

# output
# [1, 4, 4, 5, 7, 7, 8, 9, 9, 10]
# 1