C++实现二分法详解

二分法是在一个排好序的序列（数组，链表等）中，不断收缩区间来进行目标值查找的一种算法，下面我们就来探究二分法使用的一些细节，以及常用的场景：

1. 寻找一个数；
2. 寻找左侧边界；
3. 寻找右侧边界。

一、二分法的通用框架

int binarySearch(vector<int>& nums, int target){
    int left=0, right=nums.size();
    while(left < right)
    {
        int mid=(left+right)/2;
        if(nums[mid] == target){
            // 条件一：中间的值与目标值相同
        }
        else if(nums[mid] > target){
            // 条件二：中间的值大于目标值
        }
        else if(nums[mid] < target){
            // 条件三：中间的值小于目标值
        }
    }
    return -1;
}

首先，我们先来分析一下右边界 right 的初始值：

1. 当 right=nums.size() 时，初始化的区间就变成了 \([0, right-1]\)，即 \([0,right)\)；
2. 当right=nums.size()-1 时，初始化的区间就变成了 \([0, right]\)。

在第一种情况下，当 nums[mid] > target 时，需要将区间向左收缩，即 right=mid。这个做法的逻辑是：既然 mid 位置处大于 target，而查找区间又是 “左闭右开”，因此当 right=mid 时，新的查找区间变成了 \([0, mid)\)，这样才不会漏掉值。同理，当 nums[mid] < target 时，需要将区间向右收缩，即 left = mid+1，因为在 "左闭右开" 的区间下，新的查找区间变成 \([mid+1, right)\) 才不会漏掉值。当目标值不在序列中时，需要将 while 的条件写成 while(left < right) 而不是写成 while(left<=right)，这样会引起数组越界。

第二种情况的分析类似，这里只给出结论：

• 当 nums[mid] > target 时，需要将区间向左收缩，即 right=mid-1；
• 当 nums[mid] < target 时，需要将区间向右收缩，即 left = mid+1；
• 当目标值不在序列中时，需要将 while 的条件写成 while(left<=right)

二、二分法查找目标值

在序列中查找一个数，如果存在则返回数的索引，如果不存在则返回 -1 。为了方便分析，我们就只用第一种情况进行说明：

int binarySearch(vector<int>& nums, int target){
    int left=0, right=nums.size();
    while(left < right)
    {
        int mid=(left+right)/2;
        if(nums[mid] == target){
           return mid;	// 查询到目标值，直接返回目标值的位置
        }
        else if(nums[mid] > target){
            right = mid; // 中间的值大于目标值，向左收缩区间
        }
        else if(nums[mid] < target){
            left = mid+1;// 中间的值小于目标值，向右收缩区间
        }
    }
    return -1;	// 当没有找到，直接返回-1
}

三、二分法查找目标值的左右边界

上述代码只能从序列中查找一个目标值并返回位置，当一个序列中目标值不止一个时，我们需要找到目标值最左边的位置和最右边的位置，这时候二分法需要进行改写：

// 查找目标值的左边界
int binarySearch(vector<int>& nums, int target){
    int left=0, right=nums.size();
    while(left < right)
    {
        int mid=(left+right)/2;
        if(nums[mid] == target){
          right = mid;	// 查询到目标值不进行返回，而是收缩区间继续查找
        }
        else if(nums[mid] > target){
            right = mid; // 中间的值大于目标值，向左收缩区间
        }
        else if(nums[mid] < target){
            left = mid+1;// 中间的值小于目标值，向右收缩区间
        }
    }
    return left;
}

根据上述代码，可以发现如果查找目标值的左边界，在满足 nums[mid] == target 时，需要缩小搜索区间的上界 right，在区间 \([left, mid]\) 中继续搜索，直到搜索完毕 left==right。此时 left=right=左边界。

查找右边界的做法与左边界类似：

// 查找目标值的左边界
int binarySearch(vector<int>& nums, int target){
    int left=0, right=nums.size();
    while(left < right)
    {
        int mid=(left+right)/2;
        if(nums[mid] == target){
          left = mid+1;	// 查询到目标值不进行返回，而是收缩区间继续查找
        }
        else if(nums[mid] > target){
            right = mid; // 中间的值大于目标值，向左收缩区间
        }
        else if(nums[mid] < target){
            left = mid+1;// 中间的值小于目标值，向右收缩区间
        }
    }
    return left-1;
}

注意这里的判断条件改成了当 nums[mid] == target 时，left = mid+1。因为搜索的区间为 "左闭右开"，所以在寻找左边界时可令 right=mid ，在寻找右边界时必须另 left=mid+1，不然程序会一直停在循环里面而无法跳出循环。