P3309-[SDOI2014]向量集【线段树,凸壳】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P3309

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题目大意

\(n\)个操作

1. 在序列末尾加入一个向量\((x,y)\)
2. 询问加入的第\(l\sim r\)个向量中的一个向量和\((x,y)\)的点积最大值

强制在线，点积的定义为\(x_1x_2+y_1y_2\)

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解题思路

如果对于一个\((x,y)\)对于两个\((x_1,y_1)\)和\((x_2,y_2)\)如果后者更大那么有

\[x_2x+y_2y>x_1x+y_1y\Rightarrow \frac{y}{x}\leq \frac{x_2-x_1}{y_2-y_1}
\]

好像和斜率有关，可以维护凸壳来做，因为\(y\)可能是负数，如果是负数的时候就要求的是下凸壳了，所以两个凸壳都要维护。

因为强制在线所以上不了传统艺能\(\text{CDQ}\)

那怎么动态维护区间凸壳，平衡树支持动态插入但不支持区间问题。所以考虑线段树，因为一个位置修改了之后就不会再修改，而且是从左往右加的，可以利用这个性质。

每次我们修改一个位置后，如果一个区间\([L,R]\)的节点内已经插入了\(R-L+1\)个向量（也就是都插完了）的话就直接把它的两个儿子的凸壳合并起来。

然后询问的时候分成\(log\ n\)个区间询问的答案取最大值就好了。

合并凸壳的是用归并排序的话时间复杂度\(O(n\log n)\)

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define ll long long
using namespace std;
struct point{
    ll x,y;
    point(ll xx=0,ll yy=0)
    {x=xx;y=yy;return;}
}z;
point operator+(point x,point y)
{return point(x.x+y.x,x.y+y.y);}
point operator-(point x,point y)
{return point(x.x-y.x,x.y-y.y);}
ll operator^(point x,point y)
{return x.x*y.y-x.y*y.x;}
ll operator*(point x,point y)
{return x.x*y.x+x.y*y.y;}
bool operator<(point x,point y)
{return (x.x==y.x)?x.y<y.y:x.x<y.x;}
const ll N=4e5+10;
char pe[3];
ll n,num,siz[N<<2];
vector<point> v[N<<2][2],tmp;
void Make(ll x){
    ll ls=x*2,rs=x*2+1;
    for(ll k=0;k<2;k++){
        ll i=0,j=0,l1=v[ls][k].size()-1,l2=v[rs][k].size()-1;
        tmp.clear();
        while(i<=l1||j<=l2){
            if(i>l1||(j<=l2&&v[rs][k][j]<v[ls][k][i]))
                tmp.push_back(v[rs][k][j]),j++;
            else tmp.push_back(v[ls][k][i]),i++;
        }
        ll cnt=0;
        for(ll i=0;i<tmp.size();i++){
            while(cnt>1&&((v[x][k][cnt-1]-v[x][k][cnt-2])^(tmp[i]-v[x][k][cnt-1]))>=0)
                v[x][k].pop_back(),cnt--;
            v[x][k].push_back(tmp[i]);cnt++;
        }
    }
    return;
}
ll Calc(ll x,point p){
    ll f=0;
    if(p.y<0)p=z-p,f^=1;
    ll l=0,r=v[x][f].size()-2;
    while(l<=r){
        ll mid=(l+r)>>1;
        point tmp=v[x][f][mid+1]-v[x][f][mid];tmp.x*=-1;
        if(p.x*tmp.x>=p.y*tmp.y)r=mid-1;
        else l=mid+1;
    }
    return p*v[x][f][l];
}
void Change(ll x,ll L,ll R,ll pos,point p){
    if(L==R){
        v[x][0].push_back(p);
        v[x][1].push_back(z-p);
        return;
    }
    ll mid=(L+R)>>1;siz[x]++;
    if(pos<=mid)Change(x*2,L,mid,pos,p);
    else Change(x*2+1,mid+1,R,pos,p);
    if(siz[x]==R-L+1)Make(x);
}
ll Ask(ll x,ll L,ll R,ll l,ll r,point p){
    if(L==l&&R==r)return Calc(x,p);
    ll mid=(L+R)>>1;
    if(r<=mid)return Ask(x*2,L,mid,l,r,p);
    if(l>mid)return Ask(x*2+1,mid+1,R,l,r,p);
    return max(Ask(x*2,L,mid,l,mid,p),Ask(x*2+1,mid+1,R,mid+1,r,p));
}
void dc(ll &x,ll lastans) {
    if(pe[0]=='E')return;
    x=x^(lastans&0x7fffffff);
    return;
}
signed main()
{
    scanf("%lld%s",&n,pe);
    ll last=0;
    for(ll i=1;i<=n;i++){
        char op[3];ll x,y,l,r;
        scanf("%s%lld%lld",op,&x,&y);
        dc(x,last);dc(y,last);
        if(op[0]=='A'){
            ++num;
            Change(1,1,n,num,point(x,y));
        }
        else{
            scanf("%lld%lld",&l,&r);dc(l,last);dc(r,last);
            printf("%lld\n",last=Ask(1,1,n,l,r,point(x,y)));
        }
    }
    return 0;
}