P5748-集合划分计数【EGF,多项式exp】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P5748

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题目大意

求将\(n\)的排列分成若干个无序非空集合的方案。

输出答案对\(998244353\)取模。

\(1\leq n\leq 10^5,1\leq T\leq 1000\)

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解题思路

就是求划分数

分成\(i\)个集合的方案是\((e^x-1)^i\)所以答案的生成函数就是

\[\sum_{i=0}^{\infty}\frac{(e^x-1)^i}{i!}
\]

emmmmmmmmmmm...

怎么看上去这么眼熟，所以

\[\sum_{i=0}^{\infty}\frac{(e^x-1)^i}{i!}=e^{e^x-1}
\]

然后写个多项式exp就好了

时间复杂度\(O(n\log n)\)

到此本题目已经结束了，但是我们可以换一种方式来做

我们知道\(\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}\)是把\(n\)分成\(m\)个非空集合的方案数

所以这这题其实是在求

\[\sum_{i=1}^n\begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix}
\]

这个东西应该也很好做，斯特林数有通项

\[\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}=\frac{1}{m!}\sum_{k=0}^m(-1)^{m-k}k^n\binom{m}{k}
\]

\[\sum_{i=1}^n\frac{1}{i!}\sum_{j=0}^i(-1)^{i-j}j^n\binom{i}{j}
\]

然后拆开组合数化简一下就是

\[\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^i\frac{j^n}{j!}\times \frac{(-1)^{i-j}}{(i-j)!}
\]

然后卷积就好了。

具体化简过程和P4091-求和很像，这里就不多赘述了。

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=8e5+10,P=998244353;
ll T,n,f[N],g[N],r[N];
ll t1[N],t2[N],t3[N],t4[N],t5[N],t6[N];
ll power(ll x,ll b){
	ll ans=1;
	while(b){
		if(b&1)ans=ans*x%P;
		x=x*x%P;b>>=1;
	}
	return ans;
}
void GetL(ll l){
	n=1;while(n<=l)n<<=1;
	for(ll i=0;i<n;i++)
		r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)?(n>>1):0);
	return;
}
void NTT(ll *f,ll op){
	for(ll i=0;i<n;i++)
		if(i<r[i])swap(f[i],f[r[i]]);
	for(ll p=2;p<=n;p<<=1){
		ll len=p>>1,tmp=power(3,(P-1)/p);
		if(op==-1)tmp=power(tmp,P-2);
		for(ll k=0;k<n;k+=p){
			ll buf=1;
			for(ll i=k;i<k+len;i++){
				ll tt=f[i+len]*buf%P;
				f[i+len]=(f[i]-tt+P)%P;
				f[i]=(f[i]+tt)%P;
				buf=buf*tmp%P;
			}
		}
	}
	if(op==-1){
		ll invn=power(n,P-2);
		for(ll i=0;i<n;i++)
			f[i]=f[i]*invn%P;
	}
	return;
}
void GetInv(ll *f,ll *g,ll m){
	if(m==1){g[0]=power(f[0],P-2);return;}
	GetInv(f,g,m>>1);GetL(m);
	for(ll i=0;i<m;i++)t1[i]=g[i],t2[i]=f[i];
	NTT(t1,1);NTT(t2,1);
	for(ll i=0;i<n;i++)
		t1[i]=t1[i]*t1[i]%P*t2[i]%P;
	NTT(t1,-1);
	for(ll i=0;i<m;i++)
		g[i]=(2*g[i]-t1[i]+P)%P;
	for(ll i=0;i<n;i++)t1[i]=t2[i]=0;
	return;
}
void GetD(ll *f,ll *g,ll m){
	for(ll i=0;i<m-1;i++)
		g[i]=f[i+1]*(i+1)%P;
	g[m-1]=0;return;
}
void GetJ(ll *f,ll *g,ll m){
	for(ll i=1;i<m;i++)
		g[i]=f[i-1]*power(i,P-2)%P;
	g[0]=0;return;
}
void GetLn(ll *f,ll *g,ll m){
	GetD(f,t3,m);GetInv(f,t4,m);
	GetL(m);NTT(t3,1);NTT(t4,1);
	for(ll i=0;i<n;i++)t3[i]=t3[i]*t4[i]%P;
	NTT(t3,-1);GetJ(t3,g,n);
	for(ll i=0;i<n;i++)t3[i]=t4[i]=0;
	for(ll i=m;i<n;i++)g[i]=0;
	return;
}
void GetExp(ll *f,ll *g,ll m){
	if(m==1){g[0]=1;return;}
	GetExp(f,g,m>>1);GetLn(g,t5,m);
	for(ll i=0;i<m;i++)t6[i]=f[i];
	GetL(m);NTT(t5,1);NTT(t6,1);NTT(g,1);
	for(ll i=0;i<n;i++)
		g[i]=g[i]*(1-t5[i]+t6[i]+P)%P;
	NTT(g,-1);for(ll i=m;i<n;i++)g[i]=0;
	for(ll i=0;i<n;i++)t5[i]=t6[i]=0;
	return;
}
signed main()
{
	ll m=1;while(m<=1e5)m<<=1;
	f[1]=1;GetExp(f,g,m);
	(g[0]+=P-1)%=P;f[1]=0;
	GetExp(g,f,m);
	for(ll i=1,F=1;i<=m;i++,F=F*i%P)f[i]=f[i]*F%P;
	scanf("%lld",&T);
	while(T--){
		scanf("%lld",&n);
		printf("%lld\n",f[n]);
	}
	return 0;
}