2019.03.12 codeforces739E. Gosha is hunting（dp凸优化）

传送门

题意：nnn个物品，有aaa个XXX道具和bbb个YYY道具，XXX道具移走第iii个物品概率为pip_ipi​，YYY道具移走第iii个道具概率为uiu_iui​。

对于每个物品每种道具最多用一次且只能被移走一次，现在问对于道具的所有分配方案中移走物品的总个数的期望最大值是多少。

---

思路：

有一个很显然的O(n3)dp：fi,j,kO(n^3)dp：f_{i,j,k}O(n3)dp：fi,j,k​表示前iii个物品用jjj个XXX道具和kkk个YYY道具的最大期望。

然后暴力代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
#define ri register int
using namespace std;
const int rlen=1<<18|1;
inline int read(){
	int ans=0;
	char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch))ch=getchar();
	while(isdigit(ch))ans=((ans<<2)+ans<<1)+(ch^48),ch=getchar();
	return ans;
}
const int N=205;
int n,a,b;
double p[N],u[N],f[N][N][N];
int main(){
	n=read(),a=read(),b=read();
	for(ri i=1;i<=n;++i)scanf("%lf",&p[i]);
	for(ri i=1;i<=n;++i)scanf("%lf",&u[i]);
	for(ri i=1;i<=n;++i){
		for(ri j=0;j<=a;++j)for(ri k=0;k<=b;++k){
			f[i][j][k]=f[i-1][j][k];
			if(j)f[i][j][k]=max(f[i][j][k],f[i-1][j-1][k]+p[i]);
			if(k)f[i][j][k]=max(f[i][j][k],f[i-1][j][k-1]+u[i]);
			if(j&&k)f[i][j][k]=max(f[i][j][k],f[i-1][j-1][k-1]+1-(1-p[i])*(1-u[i]));
		}
	}
	printf("%.6lf",f[n][a][b]);
	return 0;
}

---

然而这显然是不够优秀的

因此我们发现可以对后两维都进行一次凸优化，复杂度O(nlogn2)O(nlog_n^2)O(nlogn2​)

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ri register int
using namespace std;
inline int read(){
	int ans=0;
	char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch))ch=getchar();
	while(isdigit(ch))ans=((ans<<2)+ans<<1)+(ch^48),ch=getchar();
	return ans;
}
const double eps=1e-8;
const int N=2005;
int n,a,b;
double p[N],u[N];
struct data{
	double v;
	int a,b;
	data(double v=0,int a=0,int b=0):v(v),a(a),b(b){}
	friend inline data operator+(const data&a,const data&b){return data(a.v+b.v,a.a+b.a,a.b+b.b);}
}f[N];
inline void solve(double w1,double w2){
	f[0]=data(0,0,0);
	for(ri i=1;i<=n;++i){
		f[i]=f[i-1];
		if(f[i-1].v+p[i]-w1>f[i].v)f[i]=f[i-1]+data(p[i]-w1,1,0);
		if(f[i-1].v+u[i]-w2>f[i].v)f[i]=f[i-1]+data(u[i]-w2,0,1);
		if(f[i-1].v+p[i]+u[i]-p[i]*u[i]-w1-w2>f[i].v)f[i]=f[i-1]+data(p[i]+u[i]-p[i]*u[i]-w1-w2,1,1);
	}
}
int main(){
	n=read(),a=read(),b=read();
	for(ri i=1;i<=n;++i)scanf("%lf",&p[i]);
	for(ri i=1;i<=n;++i)scanf("%lf",&u[i]);
	double l1=0,r1=1,l2,r2;
	while(r1-l1>=eps){
		double mid1=(l1+r1)/2;
		l2=0,r2=1;
		while(r2-l2>=eps){
			double mid2=(l2+r2)/2;
			solve(mid1,mid2);
			f[n].b>b?l2=mid2:r2=mid2;
		}
		solve(mid1,r2);
		f[n].a>a?l1=mid1:r1=mid1;
	}
	solve(r1,r2);
	printf("%.6lf",f[n].v+r1*a+r2*b);
	return 0;
}