KMP 求最小循环节

转载自：https://www.cnblogs.com/chenxiwenruo/p/3546457.html

KMP模板，最小循环节

 

下面是有关学习KMP的参考网站

http://blog.csdn.net/yaochunnian/article/details/7059486

http://blog.csdn.net/v_JULY_v/article/details/6111565

http://blog.csdn.net/v_JULY_v/article/details/6545192

http://blog.csdn.net/oneil_sally/article/details/3440784

http://billhoo.blog.51cto.com/2337751/411486

先说说next数组的含义：

next[i]就是前面长度为i的字符串前缀和后缀相等的最大长度，也即索引为i的字符失配时的前缀函数。

下面几个版本的next函数，除了next[0]不同外（版本一中为-1，版本二中为0），其余无差别

一：KMP算法模板

版本一：

//求str对应的next数组
void getNext(char const* str, int len)
{
    int i = 0;
    next[i] = -1;
    int j = -1;
    while( i < len )
    {
        if( j == -1 || str[i] == str[j] )   //循环的if部分
        {
            ++i;
            ++j;
            //修正的地方就发生下面这4行
            if( str[i] != str[j] ) //++i，++j之后，再次判断ptrn[i]与ptrn[j]的关系
                next[i] = j;      //之前的错误解法就在于整个判断只有这一句。
            else
                next[i] = next[j];  //这里其实是优化了后的，也可以仍是next[i]=j
            //当str[i]==str[j]时，如果str[i]匹配失败，那么换成str[j]肯定也匹配失败，
            //所以不是令next[i]=j，而是next[i] = next[j]，跳过了第j个字符，
            //即省去了不必要的比较
            //非优化前的next[i]表示前i个字符中前缀与后缀相同的最大长度
        }
        else                                 //循环的else部分
            j = next[j];
    }
}

//在目标字符串target中，字符str出现的个数
//n为target字符串的长度，m为str字符串的长度
int kmp_match(char *target,int n,char *str,int m){
    int i=0,j=0;  //i为target中字符的下标，j为str中字符的下标
    int cnt=0;   //统计str字符串在target字符串中出现的次数
    while(i<=n-1){
        if(j<0||target[i]==str[j]){
            i++;
            j++;
        }
        else{
            j=next[j]; //当j=0的时候，suffix[0]=-1，这样j就会小于0，所以一开始有判断j是否小于0
        }

        //str在target中找到匹配
        if(j==m){
            cnt++;
            j=next[j];
        }
    }
    return cnt;
}
//在目标字符串target中，若存在str字符串，返回匹配成功的第一个字符的位置
int kmp_search(char *target,int n,char *str,int m){
    int i=0,j=0;  //i为target中字符的下标，j为str中字符的下标
    int cnt=0;   //统计str字符串在target字符串中出现的次数
    while(i<n && j<m){
        if(j<0||target[i]==str[j]){
            i++;
            j++;
        }
        else{
            j=suffix[j]; //当j=0的时候，suffix[0]=-1，这样j就会小于0，所以一开始有判断j是否小于0
        }
    }
    if(j>=m)
        return i-m;
    else
        return -1;
}

版本二（算法导论）：

//这里的next和前面一样，next[i]就是前面长度为i的字符串前缀和后缀相等的长度，
//即索引为i的字符失配时的前缀函数
void getNext(char *str,int m){
    memset(next,0,sizeof(next));
    next[1]=0;
    int k=0;
    for(int i=2;i<=m;i++){
        while(k>0 && str[k]!=str[i-1])
            k=next[k];
        if(str[k]==str[i-1])
            k++;
        next[i]=k;
    }
}
//n为target字符串的长度，m为str字符串的长度,统计str在target中出现的个数
int match(char *target,int n,char * str,int m){
    int k=0,cnt=0;
    for(int i=0;i<n;i++){
        while(k>0 && str[k]!=target[i])
            k=next[k];
        if(str[k]==target[i])
            k++;
        if(k==m){
            cnt++;
            k=next[k];
        }
    }
    return cnt;
}

//n为target字符串的长度，m为str字符串的长度
//若存在str字符串，返回匹配成功的第一个字符的位置
int match(char *target,int n,char * str,int m){
    int k=0,cnt=0;
    for(int i=0;i<n;i++){
        while(k>0 && str[k]!=target[i])
            k=next[k];
        if(str[k]==target[i])
            k++;
        if(k==m){
            return i-m+1;
        }
    }
    return -1；
}

某大神的模板（其实和算法导论一样）：

#define KMP_GO(X) while(k>0 && P[k]!=X[i]) k=next[k];if(P[k]==X[i])k++
//求字符串P在T中出现的次数
int kmp_match(char*T,char*P){
    int n,m,next[10010],i,k,c;
    n=strlen(T);m=strlen(P);
    next[1]=k=0;
    for(i=1;i<m;i++){
        KMP_GO(P);
        next[i+1]=k;//这里i表示的是字符的索引，对应的长度i+1
    }
    k=c=0;
    for(i=0;i<n;i++){
        KMP_GO(T);
        if(k==m){
            c++;
            k=next[k];
        }
    }
    return c;
}

二：KMP最小循环节、循环周期：

定理：假设S的长度为len，则S存在最小循环节，循环节的长度L为len-next[len]，子串为S[0…len-next[len]-1]。

（1）如果len可以被len - next[len]整除，则表明字符串S可以完全由循环节循环组成，循环周期T=len/L。

（2）如果不能，说明还需要再添加几个字母才能补全。需要补的个数是循环个数L-len%L=L-(len-L)%L=L-next[len]%L，L=len-next[len]。

理解该定理，首先要理解next数组的含义：next[i]表示前面长度为i的子串中，前缀和后缀相等的最大长度。

如：abcdabc

index	0	1	2	3	4	5	6	7
char	a	b	c	d	a	b	C
next	-1	0	0	0	0	1	2	3

如对于a,ab,abc,abcd，很明显，前缀和后缀相同的长度为0

对于长度为5的子串abcda，前缀的a和后缀的a相同，长度为1

对于长度为6的子串abcdab，前缀的ab和后缀的ab相同，长度为2

接下来举几个例子来说明最小循环节和循环周期：

为方便说明，先设字符串的长度为len，循环子串的长度为L

1.

s0s1s2s3s4s5 ，next[6]=3

即s0s1s2=s3s4s5

很明显可知：循环子串为s0s1s2，L=len-next[6]=3，且能被len整除。

2.

s0s1s2s3s4s5s6s7 ，next[8]=6

此时len-next[8]=2 ，即L=2

由s0s1s2s3s4s5=s2s3s4s5s6s7

可知s0s1=s2s3,s2s3=s4s5,s4s5=s6s7

显然s0s1为循环子串

3.

s0s1s2s3s4s5s6 ，next[7]=4

此时len-next[7]=3，即L=3

由s0s1s2s3=s3s4s5s6

可知s0s1=s3s4,s2s3=s5s6

从而可知s0s1s2=s3s4s5，s0=s3=s6

即如果再添加3-4%3=2个字母（s1s2），那么得到的字符串就可以由s0s1s2循环3次组成

这个定理可以这么理解：

http://www.cnblogs.com/oyking/p/3536817.html

对于一个字符串，如abcd abcd abcd，由长度为4的字符串abcd重复3次得到，那么必然有原字符串的前八位等于后八位。

也就是说，对于某个字符串S，长度为len，由长度为L的字符串s重复R次得到，当R≥2时必然有S[0..len-L-1]=S[L..len-1]，字符串下标从0开始

那么对于KMP算法来说，就有next[len]=len-L。此时L肯定已经是最小的了（因为next的值是前缀和后缀相等的最大长度，即len-L是最大的，那么在len已经确定的情况下，L是最小的）。

如果一定仔细证明的话，请看下面：

（参考来自：http://www.cnblogs.com/wuyiqi/archive/2012/01/06/2314078.html，有所改动）

k    m   x     j     i

由上，next【i】=j，两段红色的字符串相等（两个字符串完全相等），s[k....j]==s[m....i]

设s[x...j]=s[j....i](xj=ji)

则可得，以下简写字符串表达方式

kj=kx+xj;

mi=mj+ji;

因为xj=ji，所以kx=mj，如下图所示

k   m     a    x    j     i

设s[a…x]=s[x..j](ax=xj)

又由xj=ji，可知ax=xj=ji

即s[a…i]是由s[a…x]循环3次得来的。

而且看到没，此时又重复上述的模型，s[k…x]=s[m…j]，可以一直递推下去

最后可以就可以递推出文章开头所说的定理了。

最后再举两个相关例子

abdabdab  len:8 next[8]:5

最小循环节长度：3（即abd）   需要补的个数是1  d

ababa  len:5 next[5]：3

最小循环节长度：2（即ab）    需要补的个数是1  b

一道求循环节的题目

题目链接：https://oj.ismdeep.com/contest/Problem?id=1284&pid=6

G: Dave的时空迷阵

Time Limit: 1 s      Memory Limit: 128 MB     

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Problem Description

皇家理工本部隐藏着一座扭曲时空的迷阵，一旦陷入迷阵就不能复出。Dave作为一个勇敢的探险家，勇敢闯入迷阵，并发现了一些规律……

Dave发现总是在行进一定距离后回到起点，继续走上重复的路途….

冷静分析之后，Dave在前进的路途中记录了标记（a-z的小写字母），并得到了一个字符串，Dave想知道，从起点开始，最少走多远会回到初始状态？

Input

第一行一个正整数nn为Dave记录的字符串长度(1≤n≤2×105)(1≤n≤2×105)

第二行为长度nn的字符串，仅包含a−za−z的小写英文字母的非空字符串

Output

第一行输出从起点再到起点的距离

第二行输出行进路上遇到的字符

Sample Input

4
abcd

Sample Output

4
abcd

解题思路：对于给定串求出 next 数组，利用循环节性质得出是否满足循环，再将末尾多余的字母隔过 去，输出一个整的循环节即可

附上代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int AX = 3e5+;
char ps[AX];
int len ;
int next1[AX];
void getnext1( int m )
{
    next1[] = -;
    int j = ;
    int k = -;
    while ( j < m )
    {
        if (k == - || ps[j] == ps[k])
            next1[++j] = ++k;
        else
            k = next1[k];
    }
}
int main()
{
    scanf("%d",&len);
    scanf("%s",ps);
    getnext1(len);

    int ans = len - next1[len];
    int left = next1[len] % ans ;
    printf("%d\n",ans);
    for( int i = len - left - ans ; i < len - left ; i ++ )
        printf("%c",ps[i]);
    printf("\n");
    return ;
}