BZOJ 1061: [Noi2008]志愿者招募 [单纯形法]【学习笔记看另一篇吧】

1061: [Noi2008]志愿者招募

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Description

　　申奥成功后，布布经过不懈努力，终于成为奥组委下属公司人力资源部门的主管。布布刚上任就遇到了一个难

题：为即将启动的奥运新项目招募一批短期志愿者。经过估算，这个项目需要N 天才能完成，其中第i 天至少需要

Ai 个人。布布通过了解得知，一共有M 类志愿者可以招募。其中第i 类可以从第Si 天工作到第Ti 天，招募费用

是每人Ci 元。新官上任三把火，为了出色地完成自己的工作，布布希望用尽量少的费用招募足够的志愿者，但这

并不是他的特长！于是布布找到了你，希望你帮他设计一种最优的招募方案。

Input

　　第一行包含两个整数N, M，表示完成项目的天数和可以招募的志愿者的种类。接下来的一行中包含N 个非负

整数，表示每天至少需要的志愿者人数。接下来的M 行中每行包含三个整数Si, Ti, Ci，含义如上文所述。为了

方便起见，我们可以认为每类志愿者的数量都是无限多的。

Output

　　仅包含一个整数，表示你所设计的最优方案的总费用。

Sample Input

3 3
2 3 4
1 2 2
2 3 5
3 3 2

Sample Output

HINT

1 ≤ N ≤ 1000，1 ≤ M ≤ 10000，题目中其他所涉及的数据均不超过2^31-1。

[2017-03-10]今天重写了学习笔记，别看这一篇了

很早之前就看过单纯形法了，(中午演讲时还讲过)

今晚重新看了一遍研究了一下实现

参考资料：

1.算法导论29章

2.http://blog.csdn.net/fuxey/article/details/51039914

3.http://blog.csdn.net/popoqqq/article/details/44310605

4.http://wenku.baidu.com/view/ce5784754a7302768f99391d

问题转化见下一篇吧，这里主要说一下单纯形法的实现问题

好吧现在已经第二天下午了......不是今晚

【理论罗列】：

1.标准型

m个约束 n个变量用x向量表示 A是一个m*n的矩阵 c是一个n的向量 b是一个m的向量

最大化 cx

满足约束 Ax<=b x>0

2.松弛型

基本变量 B |B|=m 一个约束对应一个表示松弛量叫做松弛变量(基本变量)

非基变量 N |N|=n

xn+i=bi-sigma{aijxj}>=0

3.替入变量 xe(非基变量)

替出变量 xl(基本变量)

4.可行解

　基本解：所有非基变量设为0

　基本可行解

5.单纯形法的过程中B和N不断交换，在n维空间中不断走

“相当于不等式上的高斯消元”

【代码实现】：

pivot是转动操作

基本思想就是改写l这个约束为xe作为基本变量，然后把这个新xe的值带到其他约束和目标函数中，就消去xe了

改写和带入时要修改b和a 目标函数则是 c和v

转动时l和e并没有像算法导论上一样a矩阵用了两行分别是a[l][]和a[e][]（这样占用内存大），而是用了同一行，这样a矩阵的行数=|B|，列数=|N|

也就是说，约束条件只用m个，尽管B和N不断交换，但同一时间还是只有m个约束(基本变量)n个非基变量

注意改写成松弛型后a矩阵实际系数为负

（一个优化 a[i][e]为0的约束没必要带入了

simplex是主过程

基本思想是找到一个c[e]>0的，然后找对这个e限制最紧的l，转动这组l e

注意精度控制eps

c[e]>eps

还有找l的时候a[i][e]>eps才行

【对偶原理】：

1.原始线性规划对偶线性规划

2.对于

最大化 cx

满足约束 Ax<=b x>0

对偶问题为

最小化 bx

满足约束 ATx>=c x>0 （AT为A的转置）

可以转化很多问题来避免初始解不可行

【其他问题】：

1.一般不需要保存N和B集合

2.simplex过程依赖于线性规划是松弛型且初始解是可行的，我遇到的题目都是可行的

　否则的话参见算法导论

3.Q：本题中x向量一定是整数，这难道不是整数线性规划吗？

A：我也有点玄乎，也许是因为b向量也是整数吧，不过没道理啊整数线性规划对偶性不一定成立，可能是数据弱吧，还请神犇指教

[update 2017-03-01]感谢$myx12345$在评论中指出全幺模矩阵，然后去查了查，发现了$VFK$$orzorzorz$的贴吧的回复

我来秀智商了……

说从前有个线性规划

min c x^T

Ax = b

x >=

这里面A是矩阵，x、b、c都是向量

x^T表示转置

啊……我们假设以上出现的所有元素都是整数……

那么Ax = b要是恰好方程数等于未知数数，且解出来恰好为正数是不是就超开心？ （假设是线性无关的）

根据那个啥法则，x_i = det(A_i) / det(A)

det(A)表示A的行列式

A_i表示把A的第i列换为b之后的矩阵

如果det(A_i)恰好是det(A)的倍数那不就超开心？这样

但是现实是残酷的，往往这家伙会除出来小数，然后整数规划就坑爹了。

但是人类的智慧是无穷的！

我们现在还是假定“恰好方程数等于未知数数，且解出来恰好为正数”

我们再加个限制：det(A) = 1或-

就233了吧。

解一定是整数了。

于是可以顺利变为整数规划。我们把det(A) = , -1的矩阵称为幺模矩阵。

但是现实是残酷的，“恰好方程数等于未知数数，且解出来恰好为正数”往往不满足。

但是其实没关系。由于每个方程都对应着一个平面，所以解的空间是单纯形，最优解一定会出现在顶点上。

何为顶点？就是平面的交点。

何为平面？一共m + n个：Ax = b是m个方程，x = 0是n个方程。（本来是x >= ，我们只靠虑切割空间的平面……）

要是顶点都是整点不是超开心？等价于从这m + n个方程中任取n个方程把它解掉得到的解是整数解。

通过前面的分析我们知道，如果恰好选取的这n个方程的系数矩阵的行列式值为1，-1就超开心了。当然要是行列式值为0对应着无解或无穷多解的情况，它又不是顶点管它做甚……

考察系数矩阵

一个是A，好大好大

另一个是x = 0的系数，易知就是单位矩阵I

你从I中选哪几行……由于行列式的性质……一行*k加到另一行上去行列式的值不变，那么对应的未知数就会被干掉……

所以等价于……

从A中任意选取是一个子方阵，它的行列式的值只可能为1, -, 。

这样的矩阵我们称为全幺模矩阵。

番外篇：

. 必要不充分：只含1，-，。因为单个元素可以看作行列式……

. 充分必要：对它进行高斯消元的主元操作……（好像叫转轴？啊反正就是消别人的未知数……），得来的还是全幺模矩阵……这个是因为那个啥啥幺模矩阵组成了一个乘法群？用这个性质我们可以不用double。

. 您可以手工屠矩阵用定义证它是全幺模！

. 如果数学太差，您也可以写一个O(^n * n^)的强程序证它是全幺模！

orzorzorz

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<algorithm>

#include<cmath>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int M=,N=,INF=1e9;

const double eps=1e-;

inline int read(){

    char c=getchar();int x=,f=;

    while(c<''||c>''){if(c=='-')f=-; c=getchar();}

    while(c>=''&&c<=''){x=x*+c-''; c=getchar();}

    return x*f;

}

int n,m;

double a[M][N],b[M],c[N],v;

void pivot(int l,int e){

    b[l]/=a[l][e];

    for(int j=;j<=n;j++) if(j!=e) a[l][j]/=a[l][e];

    a[l][e]=/a[l][e];

    for(int i=;i<=m;i++) if(i!=l&&fabs(a[i][e])>){

        b[i]-=a[i][e]*b[l];

        for(int j=;j<=n;j++) if(j!=e) a[i][j]-=a[i][e]*a[l][j];

        a[i][e]=-a[i][e]*a[l][e];

    }

    v+=c[e]*b[l];

    for(int j=;j<=n;j++) if(j!=e) c[j]-=c[e]*a[l][j];

    c[e]=-c[e]*a[l][e];

    //swap(B[l],N[e])

}

double simplex(){

    while(true){

        int e=,l=;

        for(e=;e<=n;e++) if(c[e]>eps) break;

        if(e==n+) return v;

        double mn=INF;

        for(int i=;i<=m;i++)

            if(a[i][e]>eps&&mn>b[i]/a[i][e]) mn=b[i]/a[i][e],l=i;

        if(mn==INF) return INF;//unbounded

        pivot(l,e);

    }

}

int main(){

    n=read();m=read();

    for(int i=;i<=n;i++) c[i]=read();

    for(int i=;i<=m;i++){

        int s=read(),t=read();

        for(int j=s;j<=t;j++) a[i][j]=;

        b[i]=read();

    }

    printf("%d",(int)(simplex()+0.5));

}