N个不同球取出M个的组合个数求解
从N个不同的球中取出M个,一共有多少种取法?
这个问题是组合数据的基本问题,考虑拿出球是否放回,拿出去的球是否有序,它有4种变体:
- 不放回,有序;
- 不放回,无序;
- 放回,无序;
- 放回,有序;
对于第一种,取出M个球,第一个有N种可能,第二个N-1种可能,依次类推,M个球共有:
N*(N-1)*(N-2)*..*(N-M+1),
举个例子:3个同学(A,B,C),从中取出2位同学,那么可能的组合是:
A | B C |
B | A C |
C | A B |
共计6种,刚好是3*(3-2+1)=6种。
--------------
接着看第二种,不放回,无序。由于是无序的,那么上面(无放回有序)的排列显然存在重复,重复的次数正好等于M的全排列。因此它的组合数等于:
N*…*(N-M+1) / (M*(M-1)*…*1)
如果用推理计算的方式,我们可以得到一个递归式子:
f(n,m) = f(n-1,m)+f(n-1,m-1),表示如果包含头元素f(n-1,m-1)种,不包含则为f(n-1,m)种。
--------------
第三种,有放回,有序。由于是有序的,M个球,第一个有N种可能,第二个球也有N种可能,。。。。依次类推,因此共有N*N*。。。*N,共M个N相乘。
举个例子,3个球A,B,C,取出2个,那么可能的组合是:
A | A B C |
B | A B C |
C | A B C |
--------------
第四种,有放回,无序,是这里面最麻烦的一种。最直观的做法,是和“无放回”的对应的,类比它们的做法,在结果(3)上除以一个因子:M的全排列。但是这里略有区别,因为在“无放回”的例子中,取出的球是不同的,因此不同的排列是M的阶乘;但是在本case中,取出的球是有重复的,再除以M!就不对了。举个例子,3个球取2个,有放回,无序:
A | A B C |
B | B C |
C | C |
显然是6种,并不是3*3/2种,后者竟然不是个整数。
那么正确的建模方式是什么呢?
首先:把M次取出球当成是M个标签(相同的标签,因为是无序的),把这些标签贴到任意的球上,都贴在一个球上也没有关系。
然后:把每个球当成是一个盒子,标签当成是盒子里的球
最后:把盒子一个挨着一个排成一列,如下图所示:“-”代表盒子的底部,“|”代表盒子的壁。
|-|-|-|
一种可能的结果是:|o|o|-|,表示A,B被拿出;那么|oo||-|则表示A被拿出2次;
更一般的,可以得出不同的组合数等于:内壁的个数(N-1)+标签个数(M) 个位置中选出M个用于标签。这显然是无放回无序的问题,也就是C(N-1+M,M)。
验算一下,设N=3,M=2,则C(4,2)=6。和结果一致。
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