高斯消元与期望DP

高斯消元可以解决一系列DP序混乱的无向图上（期望）DP

DP序

DP序是一道DP的所有状态的一个排列，使状态x所需的所有前置状态都位于状态x前；

（通俗的说，在一个状态转移方程中‘=’左侧的状态应该在‘=’右侧的所有状态之后）

于是往往只有按DP序转移状态，才可以保证每个状态值的正确性

一道DP的状态序不是唯一的

常见的有：

某些DAG上dp按拓扑序转移；

某些树上DP先转移x点的子树，后转移x；

某些树上DP先转移x，后转移x点的子树；

线性DP左到右或右到左；

区间DP小到大；

某些记忆化搜索的第一次出栈顺序；

概率与期望

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概率/期望DP

转移时涉及概率的DP，他可以是线性的、树上的、DAG上的、任何形式的；

其标志是转移时涉及概率，

如“状态x有p/q的概率转移到y，有（1-p/q）的概率转移到z”；

一般情况下概率/期望DP除了应该使用浮点数据类型存贮状态、可能可以通过概率有关的知识优化之外，与非概率期望DP没有什么不同；

然而又有一类概率/期望DP则不同；

即一部分DP序混乱的无向图概率/期望DP

无向图概率/期望DP

无向图DP，这里指的是在无向图上DP

无向图概率/期望DP并非一定是DP序混乱的，然而这里只讨论DP序混乱的那一部分；

DP序混乱，往往是指存在两个状态x,y，x可以转移到y，y也可以转移到x；

在非概率/期望DP中不可能存在这种情况——因为这会导致状态值不确定；

然而在概率/期望DP中这种情况却可以存在；

因为如果在此类DP中，存在DP序混乱的情况，一般是x的p/q可以转移到y，y的a/b可以转移到x；

于是经过了无穷次相互转移后，之后的转移增量趋向于无穷小，于是可以认为此时状态的值确定了下来；

于是，有了一种十分显然的想法——迭代相互转移的次数，直到精度符合要求；

然而这种想法是十分幼稚的——迭代层数无法确定，

于是得分的上限取决于你设定的迭代层数会在什么数据范围的情况下导致超时；

得分的下限则完全取决于出题人的心情，这意味着出题人很容易造出可以卡掉迭代层数很高的代码的数据；

于是有了用高斯消元处理DP序混乱的无向图概率/期望DP方法

高斯消元

高斯消元是一种解线性方程组的方法，

这里只介绍高斯消元解n元一次方程组（n元一次方程组是线性方程组的一类）

事实上，高斯消元法与我们数学中常用的消元法类似；

其流程是：

1.选定一个未知数x_i，准备把他消去；

2.随便选定一个x_i系数不为零的方程X_i，（若没有，则无解或无数解）；

3.把其他所有方程都减去X_i的某倍数，促使除了X_i外，所有方程的x_i被消去；

4.重复123，（每个未知数，每个方程只被选定一次），直到只剩下一个未知数一个方程；

5.按选定方程的倒序选定方程，不断把已知未知数的值带入其中得到新未知数的值；

有唯一解的条件，至少n个方程，在高斯消元过程中没有被作无解或无数解

代码：

 bool flag=true;
 double matrix[N+][N+],ans[N+];

 void Gauss(int n){
     int i,j;
     bool fl=false;
     for(i=n;i>;i--)
         if(matrix[i][n]>eps||matrix[i][n]<-eps){
             swap(matrix[i],matrix[n]),fl|=;
             break;
         }
     flag=fl;
     if(!flag)return ;
     for(i=;i<n;i++)
         for(j=;j<=n;j++)
             matrix[i][j]-=matrix[n][j]*matrix[i][n]/matrix[n][n];
     if(n-)Gauss(n-);
     if(!flag)return ;
     for(i=;i<n;i++)
         matrix[n][]-=matrix[n][i]*ans[i];
     ans[n]=matrix[n][]/matrix[n][n];
 }

观察代码可以看出其效率为$O(n^3)$

用高斯消元处理期望DP

高斯消元可以处理方程组；

于是列出关于n个状态的n个方程往往可以直接解得状态的值

于是把n个本质不同的状态转移方程列作方程组，用高斯消元求解即可解决一类DP序混乱的概率/期望DP；

例题

JS09有趣的游戏

HN13游走

......

是不是应该写几个题解呢...

延伸

待续......