P4433 [COCI2009-2010#1] ALADIN

题目描述

给你 n 个盒子，有 q 个操作，操作有两种：

第一种操作输入格式为"1 L R A B"，表示将编号为L到R的盒子里的石头数量变为(X−L+1)×A mod B，其中 X为盒子的编号。
第二种操作输入格式为"2 L R"，表示查询编号为L到R的盒子里的石头总数。

输入输出格式

输入格式：

第一行有两个数字n(1≤N≤10⁹),q(1≤Q≤50000)。

接下来 q行表示询问操作。

输出格式：

对于每个第二种操作，输出石头总数。

输入输出样例

输入样例#1：

输出样例#1：

0

3

输入样例#2：

输出样例#2：

输入样例#3：

输出样例#3：

16

0

说明

Solution：

　　本题黑的不行啊，两天就荒(废)在这题上了！

　　思路：数学大套路+线段树。

　　题目中唯一出现的数学式子：$\sum_\limits{i=1}^{i\leq n} {(i*A\mod B)}$，那么切入点当然是如何快速求该式子咯。

　　我们对式子变形：原式$=A*\sum_\limits{i=1}^{i\leq n}{i}-B*\sum_\limits{i=1}^{i\leq n}{\lfloor \frac{i*A}{B} \rfloor}$。

　　被减数式子很好算直接忽略，减数式子的解决关键是式子$\sum_\limits{i=1}^{i\leq n}{\lfloor \frac{i*A}{B} \rfloor}$，对此式子我们分情况讨论（$A==B$的情况该式子直接算，所以忽略咯）：

　　　　1、$A>B$，我们假设$A=kB+r$，则原式子化为$\sum_\limits{i=1}^{i\leq n}{\lfloor \frac{i*(kB+r)}{B} \rfloor}=k*\sum_\limits{i=1}^{i\leq n}{i}+\sum_\limits{i=1}^{i\leq n}{\lfloor \frac{i*r}{B} \rfloor}$，我们把$r$当作新的$A$，那么就将该式子转化为了$A<B$的情况，于是关键就成了$A<B$时如何快速求原式子。

　　　　2、$A<B$，我们将其抽象到平面直角坐标系上，不难发现$\sum_\limits{i=1}^{i\leq n}{\lfloor \frac{i*A}{B} \rfloor}$实际求的是坐标为$(0,0),(n,0),(n,\frac{n*A}{B})$三点围成的三角形的不在$X$轴上的格点个数，可能有点难以理解，我们画图理解（留图待画、手绘勿喷）：

如图，对角线上每个被标记的点到x轴的垂线段上的格点（除开x轴的格点），所对应的就是每个$\lfloor \frac{i*A}{B} \rfloor$。我们若直接算下三角的格点个数会很麻烦，但是很容易算出整个矩形的格点个数，我们设$m=\lfloor \frac{n*A}{B} \rfloor$，则矩形的格点个数为$n*m$，我们用矩形的格点个数-上三角的格点个数+对角线上的格点个数，就能得到原式子的值。如何求上三角的格点个数和对角线的格点个数呢？我们把上三角逆时针旋转90度，就能得到一个类似于下三角的一条边为整数的三角形，用同样的方法去求，发现上三角的格点个数恰好等于$\sum_\limits{i=1}^{i\leq m}{\lfloor \frac{i*B}{A} \rfloor}$，因为$A<B$，我们又回到了第1种$A>B$情况，于是可以递归去求（递归边界就是$A|B$返回0）。而对角线斜率为$\frac{\frac{A}{gcd(A,B)}}{\frac{B}{gcd(A,B)}}$，那么横坐标每隔$\frac{B}{gcd(A,B)}$个单位会有一个格点出现，所以对角线上共有$\frac{n*gcd(A,B)}{B}$个格点。不难发现整个递归过程就是个类欧几里得的求法，时间复杂度为$O(\log n)$

　　有了上面的结论，我们就能在$O(\log n)$的复杂度下修改一段区间，那么对于原题的区间查询，我们使用懒惰标记，记录每段被修改的$A,B$和前一个点位置$st$，然后任意一度区间$[l,r]$的和都可以用$sum[r]-sum[l-1]$去算，而每个$sum[i]$直接调用上面的递归过程就好了。

　　细节太多，注意：区间肯定得离散，而求区间和时用到了前缀和的思想，一个简单的离散方法是对询问的$l,r$，将$l-1,r$离散，然后线段树建树时每个节点维护的是一整段区间，要把每段小的区间都表示出来（开始30分的原因）。

　　最后总时间复杂度$O(q\log^2 n)$，稳妥！（>.^_^.<咕咕）

代码：

/*Code by 520 -- 9.7*/

#include<bits/stdc++.h>

#define il inline

#define ll long long

#define RE register

#define For(i,a,b) for(RE int (i)=(a);(i)<=(b);++(i))

#define Bor(i,a,b) for(RE int (i)=(b);(i)>=(a);--(i))

#define lson l,m,rt<<1

#define rson m,r,rt<<1|1

using namespace std;

const int N=;

int n,m,flag[N],L[N],R[N],*Q[N],cnt,tot,val[N];

ll A[N],B[N];

struct node{

    ll sum,a,b,st,len;

}t[N];

int gi(){

    int a=;char x=getchar();

    while(x<''||x>'')x=getchar();

    while(x>=''&&x<='')a=(a<<)+(a<<)+(x^),x=getchar();

    return a;

}

il bool cmp(int *a,int *b){return *a<*b;}

ll gcd(ll a,ll b){return b?gcd(b,a%b):a;}

ll calc(ll a,ll b,ll n){

    ll x=a/b;a%=b;

    ll sum=n*(n+)/*x;

    if(!a||!b) return sum;

    ll lala=n/b,m=a*n/b;

    return sum+n*m-calc(b,a,m)+lala;

}

il ll solve(ll a,ll b,ll n){

    if(n<)return ;

    ll g=gcd(a,b);

    return n*(n+)/*a-b*calc(a/g,b/g,n);

}

il void pushup(int rt){t[rt].sum=t[rt<<].sum+t[rt<<|].sum;}

il void gai(ll A,ll B,ll st,int rt){

    t[rt].a=A,t[rt].b=B,t[rt].st=st;

    t[rt].sum=solve(A,B,st+t[rt].len-)-solve(A,B,st-);

}    

il void pushdown(int rt){

    if(t[rt].b){

        gai(t[rt].a,t[rt].b,t[rt].st,rt<<);

        gai(t[rt].a,t[rt].b,t[rt].st+t[rt<<].len,rt<<|);

        t[rt].b=;

    }

}

void build(int l,int r,int rt){

    if(l+==r){t[rt]=node{,,,,val[r]-val[l]};return;}

    int m=l+r>>;

    t[rt]=node{,,,,val[r]-val[l]};

    build(lson),build(rson);

}

void update(ll A,ll B,int L,int R,int l,int r,int rt){

    if(R<=l||r<=L)return;

    if(L<=l&&R>=r){gai(A,B,val[l]-val[L]+,rt);return;}

    pushdown(rt);

    int m=l+r>>;

    if(L<=m) update(A,B,L,R,lson);

    if(R>=m) update(A,B,L,R,rson);

    pushup(rt);

}

ll query(int L,int R,int l,int r,int rt){

    if(R<=l||r<=L)return ;

    if(L<=l&&R>=r)return t[rt].sum;

    pushdown(rt);

    int m=l+r>>;

    ll ret=;

    if(L<=m) ret+=query(L,R,lson);

    if(R>=m) ret+=query(L,R,rson);

    return ret;

}

int main(){

    n=gi(),m=gi();

    For(i,,m) {

        flag[i]=gi(),L[i]=gi()-,R[i]=gi(),Q[++tot]=&L[i],Q[++tot]=&R[i];

        if(flag[i]==) A[i]=gi(),B[i]=gi();

    }

    sort(Q+,Q+tot+,cmp);

    int lst=-;

    For(i,,tot) if(*Q[i]!=lst) lst=*Q[i],*Q[i]=++cnt,val[cnt]=lst;else *Q[i]=cnt;

    build(,cnt,);

    For(i,,m)

        if(flag[i]==) update(A[i],B[i],L[i],R[i],,cnt,);

        else printf("%lld\n",query(L[i],R[i],,cnt,));

    return ;

}