洛谷 P4559: bzoj 5319: [JSOI2018]军训列队

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题意简述：

有 \(n\) 个学生，编号为 \(i\) 的学生有一个位置 \(a_i\)。

有 \(m\) 个询问，每次询问编号在 \([l,r]\) 区间内的学生跑到区间 \([k,k+r-l]\) 中的位置花费的距离总和的最小值。

每个学生的初始位置互不相同，最终到达的位置也必须互不相同。

题解：

不难证明，学生跑到最终的位置时，他们的相对位置不改变至少是最优解之一，这可以脑补一下。

所以我们只需要求最终相对位置不变时的答案即可。

因为学生两两位置不同，所以最终有一部分学生向右跑，有一部分学生向左跑。

向右跑的学生对答案的贡献是 \(k+rk_i-1-a_i\)，\(rk_i\) 表示他的位置在这个编号区间中的学生是第 \(rk_i\) 小的。

向左跑的学生对答案的贡献是 \(a_i-k-rk_i+1\)。

显然左边一部分学生向右跑，右边一部分学生向左跑。

考虑使用主席树处理这个问题。

对权值线段树进行可持久化，则编号区间内的学生就是两个线段树相减。

考虑递归进一个区间 \([l,r]\)，有 \(4\) 种情况。

1. 这个区间中没有学生。直接返回 \(0\)。

2. 这个区间中的学生全部往右跑。返回 \((\sum k+rk_i-1)-(\sum a_i)\)，左边是等差数列求和的形式，右边可以直接记。

3. 这个区间中的学生全部往左跑。返回 \((\sum a_i)-(\sum k+rk_i-1)\)。

4. 不能确定这个区间中的学生的方向，递归到子树处理。

直接在主席树上实现即可。

时间复杂度 \(O(n\log n+m\log n\times\text{wys})\)，因为我不会分析递归的复杂度，可能是 \(O(m\log n)\) 的。