3327 选择数字

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题目描述 Description

给定一行n个非负整数a[1]..a[n]。现在你可以选择其中若干个数,但不能有超过k个连续的数字被选择。你的任务是使得选出的数字的和最大。

输入描述 Input Description

第一行两个整数n,k

以下n行,每行一个整数表示a[i]。

输出描述 Output Description

输出一个值表示答案。

样例输入 Sample Input

5 2

1

2

3

4

5

样例输出 Sample Output

12

数据范围及提示 Data Size & Hint

对于20%的数据,n <= 10

对于另外20%的数据, k = 1

对于60%的数据,n <= 1000

对于100%的数据,1 <= n <= 100000,1 <= k <= n,

0 <= 数字大小 <= 1,000,000,000

第一步:dfs

20分 TLE

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,k;
long long ans;
long long a[];
void dfs(int now,long long sum,int con)
{
if(now==n)
{
ans=max(ans,sum);
return;
}
for(int i=now+;i<=n;i++)
{
if(con<k) dfs(i,sum+a[i],con+);
dfs(i,sum,);
}
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&k);
for(int i=;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
dfs(,,);
printf("%lld",ans);
}

这种写法好像不能改记忆化搜索

第二步:朴素的DP

唉,这一步也想不出来

看的那篇题解里写着一句话:人傻就要多做题

90分TLE 应该是数据弱。。。

不能有超过连续的k个数字被选择,所以第i个状态可以由第i-k到i的状态更新而来

定义f[i]表示选到第i个数字的最大和

在i-k——i这段长为k+1的序列中,必须有一个断点

枚举断点j

状态转移方程:f[i]=max(f[j-1]+sum[i]-sum[j])   i-k<=j<=i

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,k;
long long a[],f[],sum[];
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&k);
for(int i=;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]),sum[i]=sum[i-]+a[i];
for(int i=;i<=k;i++) f[i]=f[i-]+a[i];
for(int i=k+;i<=n;i++)
for(int j=i-k;j<=i;j++)
f[i]=max(f[i],f[j-]+sum[i]-sum[j]);
printf("%lld",f[n]);
}

开始做的时候 j只枚举到i-1,忽略了选i-k——i-1这段长为k的序列的情况

第三步:

单调队列优化DP

观察状态转移方程,交换后两项顺序:f[i]=max(f[j-1]-sum[j]+sum[i])

当i固定式,sum[i]固定,所以f[i]只与j有关

所以可以用一个单调递减的队列维护f[j-1]-sum[j]的最大值,

f[i]=队首(f[j-1]-sum[j]的最大值)+sum[i]

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,k,head,tail;
long long a[],f[],sum[],d[],q[];
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&k);
for(int i=;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]),sum[i]=sum[i-]+a[i];
for(int i=;i<=n;i++)
{
d[i]=f[i-]-sum[i];
while(head<tail&&q[head]<i-k) head++;
while(head<tail&&d[i]>d[q[tail-]]) tail--;
q[tail++]=i;
f[i]=d[q[head]]+sum[i];
}
printf("%lld",f[n]);
}

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