CEOI2019 / CodeForces 1192B. Dynamic Diameter

题目简述：给定一棵$N \leq 10^5$个节点的树，边上带权，维护以下两个操作：

1. 修改一条边的边权；

2. 询问当前树的直径长度。

解1：code

注意到树的直径有以下性质：

定理：令$\text{farthest}(x)$表示与节点$x$距离最远的节点的集合。则对任意节点$x$，都有任意$a \in \text{farthest}(x)$与$b \in \text{farthest}(a)$，$a$与$b$的距离即为直径。

我们任选一个节点$r$作为树的根，任意边$(x, y)$，若$x$为$y$的父节点，则把边权置于节点$y$上，视作点权，记作$w[y]$，则修改边权都可以视作修改点权。

我们考虑询问树的直径，可以分成两个步骤：1. 找到离$r$距离最远的叶子节点$x$。2. 找到离$x$距离最远的节点$y$。

1. 找到离$r$距离最远的叶子节点$x$。我们在树的DFS序$p_1, p_2, \dots, p_n$上查找$\text{dis}(r, p_i)$的最大值及其下标$i$，则$x = p_i$。可在$O(\log n)$时间复杂度内解决。

2. 找到离$x$距离最远的节点$y$。设$\text{LCA}(x, y) = u$，则$\text{dis}(x, y) = \text{dis}(r, x)+\text{dis}(r, y)-2\text{dis}(r, u)$。考虑树链剖分，在$x$到$r$的路径中的所有重链中，找到最大的节点$u$，使得$\text{dis}(r, \text{light}(u))-2\text{dis}(r, u)$最大，其中$\text{light}(u)$表示节点$u$的轻链连接出去的后代节点集合（包括$u$本身）。可在$O(\log^2 n)$时间复杂度内解决。

接下来考虑修改操作，我们只需要维护

1. 步骤1 的 $\text{dis}(r, p_i)$。只需要用线段树维护区间整体加减，以及区间最值即可。时间复杂度$O(\log n)$。

2. 步骤2 的 $\text{dis}(r, \text{light}(u))-2\text{dis}(r, u)$。同样需要用线段树维护区间整体加减，以及区间最值。此外，对于每一个节点$x$，我们都需要一个multiset来维护$\text{light}(x)$中节点$y$的最大值$\text{dis}(r, y)$。时间复杂度为$O(\log^2 n)$。

于是，我们可以在时间复杂度$O(n + q \log^2 n)$内解决。

注：同样做法，Link-Cut Tree可以在$O(n + q\log n)$的时间内解决。

解2：code

如果没有修改操作，这题可以用动态规划来求解。为方便，与解1一样，我们以同样的方式把边权都放在点上。特别地，$w[r] = 0$。设$f[x][0]$表示以$x$为根的子树中的直径长度，$f[x][1]$表示$x$为根的子树中与节点$x$距离最远的节点与$x$的距离 加上 节点$x$的权值$w[x]$。于是，我们有

$$ f[x][0] = \max\{ \max_{y \in \text{son}(x)}\{f[y][0]\}, \max_{y_1, y_2 \in \text{son}(x), y_1 \neq y_2}\{f[y_1][1]+f[y_2][1]\} \}, $$

$$ f[x][1] = \max_{y \in \text{son}(x)}\{ f[y][1] \} + w[x]. $$

特别地，若$\text{son}(x) = \emptyset$，则$f[x][0] = 0, f[x][1] = w[x]$；若$\text{son}(x) = \{ y \}$，则$f[x][0] = \max\{f[y][0], f[y][1]\}, f[x][1] = f[y][1]+w[x]$。

现在，我们考虑动态DP。将整棵树树链剖分之后，令

$$ g[x][0] = \max\left\{ \max_{y \in \text{lightson}(x)}\{ f[y][0] \}, \max_{y_1, y_2 \in \text{lightson}(x), y_1 \neq y_2} \{ f[y_1][1]+f[y_2][1] \} \right\}, $$

$$ g[x][1] = \max_{y \in \text{lightson}(x)}\{f[y][1]\}, $$

其中，$\text{lightson}(x) = \text{son}(x) \setminus \{ \text{heavy}(x) \}$，$\text{heavy}(x)$为节点$x$的重儿子。

简记$y = \text{heavy}(x)$，我们可以得到动态规划方程：

$$ f[x][0] = \max\{ f[y][0], g[x][0], f[y][1]+g[x][1] \}, $$

$$ f[x][1] = \max\{ f[y][1], g[x][1] \} + w[x]. $$

即

$$ \begin{bmatrix} 0 & g[x][1] & g[x][0] \\ -\infty & w[x] & g[x][1]+w[x] \\ -\infty & -\infty & 0 \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} f[y][0] \\ f[y][1] \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} f[x][0] \\ f[x][1] \\ 0 \end{bmatrix}, $$

其中$C = A*B$定义为$C_{ij} = \max_k \{ A_{ik}+B_{kj} \}$。

于是，我们可用树链剖分在$O(n + q \log^2 n)$的时间复杂度内解决。

注：同样做法，Link-Cut Tree可以在$O(n + q\log n)$的时间内解决。

再注：事实上矩阵的第一列和最后一行在进行广义乘法时是不变的，即结果矩阵永远形如

$$ \begin{bmatrix} 0 & * & * \\ -\infty & * & * \\ -\infty & -\infty & 0 \end{bmatrix}. $$

于是，我们只需要计算上述矩阵中打$*$的部分，见code。

解3：code

有一个非常巧妙的做法，考虑树的全DFS序（长度为$2n-1$的DFS序，允许一个节点在这个DFS序中出现多次）$p_1, p_2, p_3, \dots, p_{2n-1}$。

令$\text{index}(x)$表示在全DFS序上节点$x$第一次出现的下标，即$p_{\text{index}(x)} = x$。

考虑两个节点$x$和$y$，其下标$a = \text{index}(x), b = \text{index}(y)$，不妨设$a \leq b$。这两个节点之间的距离

$$\begin{aligned} \text{dis}(x, y) & = \text{dis}(r, x)+\text{dis}(r, y)-2\text{dis}(r, \text{LCA}(x, y)) \\ & = \text{dis}(r,x)+\text{dis}(r,y)-2\min_{a \leq c \leq b}\{ \text{dis}(r, p_c) \}. \end{aligned}$$

于是，树的直径则为

$$ \max_{x, y}\{\text{dis}(x,y)\}  = \max_{1 \leq a \leq c \leq b \leq 2n-1 } \{ \text{dis}(r, p_a)+\text{dis}(r, p_b)-2\text{dis}(r, p_c) \}.  $$

我们可以用线段树维护全DFS序在区间上的信息来解决此题，时间复杂度$O(n+q \log n)$。