【Luogu5348】密码解锁（莫比乌斯反演，数论）

【Luogu5348】密码解锁（莫比乌斯反演，数论）

题面

洛谷

题解

首先题目给定的限制是\(\sum_{n|i}a[i]=\mu(n)\)，然后把这个东西反演一下，

莫比乌斯反演的式子是：\(g(n)=\sum_{n|i}f(i)\rightarrow f(n)=\sum_{n|i}g(i)\mu(\frac{i}{n})\)，在这里\(\mu\)就是\(g\)，而\(a\)就是\(f\)。

所以我们可以得到：\(a[m]=\sum_{m|i}\mu(i)\mu(\frac{i}{m})=\sum_{i=1}^{n/m}\mu(i)\mu(im)\)。

然后直接把后面拆开，得到：\(\mu(m)\sum_{i=1}^{n/m}[gcd(i,m)=1]\mu(i)^2\)

后面那一半接着拆，可以得到：

\[\begin{aligned}
a[m]&=\mu(m)\sum_{i=1}^{n/m}\mu(i)^2\sum_{j|i,j|m}\mu(j)\\
&=\mu(m)\sum_{j|m}\mu(j)\sum_{j|i}^{n/m}\mu(i)^2
\end{aligned}\]

前面的\(j\)显然只有\(\sqrt m\) 个了。

后面一半枚举最小的平方因子，然后把这部分的贡献减去就行了，这部分的复杂度是\(O(\sqrt \frac{n}{m})\)。

所以总的复杂度就是\(O(\sigma_0(m)\sqrt{\frac{n}{m}})\)。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
inline ll read()
{
	ll x=0;bool t=false;char ch=getchar();
	while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
	if(ch=='-')t=true,ch=getchar();
	while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
	return t?-x:x;
}
ll n,ans;int m,fac[100],p;;
const int N=1e6;
bool zs[N];
int mu[N],pri[N],tot;
void Sieve()
{
	mu[1]=1;
	for(int i=2;i<N;++i)
	{
		if(!zs[i])pri[++tot]=i,mu[i]=-1;
		for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<N;++j)
		{
			zs[i*pri[j]]=true;
			if(i%pri[j]==0)break;
			mu[i*pri[j]]=-mu[i];
		}
	}
}
void Calc(int j,int v)
{
	int nn=n/m/j,ret=0;
	for(int i=1;i*i<=nn*j;++i)
	{
		int ii=i*i/__gcd(i*i,j);
		ret+=nn/ii*mu[i];
	}
	ans+=v*ret;
}
void dfs(int x,int j,int mu)
{
	if(x==p+1){Calc(j,mu);return;}
	dfs(x+1,j,mu);
	dfs(x+1,j*fac[x],-mu);
}
int main()
{
	int T=read();Sieve();
	while(T--)
	{
		n=read();m=read();p=ans=0;
		int x=m;bool fl=false;
		for(int i=2;i*i<=x;++i)
			if(x%i==0)
			{
				int c=0;fac[++p]=i;
				while(x%i==0)++c,x/=i;
				if(c>1){fl=true;break;}
			}
		if(fl){puts("0");continue;}
		if(x>1)fac[++p]=x;
		dfs(1,1,1);
		printf("%lld\n",ans*((p&1)?-1:1));
	}
}