思维定势--AtCoder Regular Contest 092 D - Two Sequences

$n \leq 100000$的俩序列，数字范围$2^{28}$，问所有$a_i+b_j$的$n^2$个数字的异或和。

这种东西肯定是按位考虑嘛，从低位开始然后补上进位。比如说第一位俩串分别有$c$个$1$和$e$个$1$，$d$个$0$和$f$个$0$，然后这一位就是$c*f+e*d$个$1$，会进$c*e$个$1$给第二位。但这里没法解决连续进位的问题，因为连续进位必须去具体考察哪几个数字进了位，复杂度不对。

思维定势--考察某一位答案时从“模拟加法”“进位”的角度，无法从中跳出是不可能出解的。

那换个方法呗，可以看到某一位的答案是由不高于这一位的所有位决定的。假如现在在第$k$位，把$a$和$b$的所有数字取出最低的$k$位，然后可以发现，$2^k \leq a_i+b_j < 2^k*2$或$2^k*3 \leq a_i+b_j < 2^k*4$时，这一位会产生一个1。这俩式子移下项，发现只要把$b$排序就可以枚举$a$然后二分答案了。

这个故事告诉我们，当发现自己陷入思维瓶颈的时候，一定要往后退一步。

其实退一步胜这种思想不仅应用于OI，在我国古代智慧中国象棋中也有这种想法。《梦入神机》中就有记载一篇名为《退一步胜》的残局，引用如下，转侵删：

好不引用了刷题去。

 #include<iostream>
 #include<cstring>
 #include<cstdlib>
 #include<cstdio>
 //#include<queue>
 //#include<time.h>
 //#include<complex>
 #include<algorithm>
 #include<stdlib.h>
 using namespace std;
 
 int n;
 #define maxn 200011
 int a[maxn],b[maxn],na[maxn],nb[maxn];
 int main()
 {
     scanf("%d",&n); for (int i=;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]); for (int i=;i<=n;i++) scanf("%d",&b[i]);
     int ans=;
     for (int i=;i<=;i++)
     {
         for (int j=;j<=n;j++) na[j]=a[j]&((<<(i+))-),nb[j]=b[j]&((<<(i+))-);
         sort(nb+,nb++n); int t1=<<i,t2=*t1,t3=*t1,t4=*t1;
         int now=;
         for (int j=;j<=n;j++)
         {
             now^=(lower_bound(nb+,nb++n,t2-na[j])-lower_bound(nb+,nb++n,t1-na[j]))&;
             now^=(lower_bound(nb+,nb++n,t4-na[j])-lower_bound(nb+,nb++n,t3-na[j]))&;
         }
         ans|=now<<i;
     }
     printf("%d\n",ans);
     return ;
 }