NOI 2014简要题解

Day 1.Problem A. 起床困难综合症

100分做法：

把数字看成二进制数。对于初始攻击力。我们将其拆成32位，并求出每一位为0和1时经过全部防御门之后分别得到的数字。然后就是按位贪心了，我们尽量让初始攻击力的高位在经过全部防御门后变成1而不是0。依据这一贪心思想，剩下要做的就是个很easy的数位贪心问题了。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>

#define MAXN 110000

using namespace std;

typedef long long int LL;

int n,m;
int op[MAXN]; //op[i]=1:AND 2:OR 3:XOR
int t[MAXN];

namespace Biaozhun
{
    int digit[100],len=0; //最低位在digit[1]
    int ans[100][2]; //ans[i][1]=从低到高第i位。初始取1，最后得到的答案
    int sol[100]; //sol保存的是最后得到的答案的最大值

    void getDigit(int x)
    {
        while(x)
        {
            digit[++len]=x&1;
            x>>=1;
        }
    }

    void solve()
    {
        getDigit(m);
        for(int Dig=0;Dig<32;Dig++)
        {
            int num=0; //初始为0
            for(int i=1;i<=n;i++)
            {
                if(op[i]==1) //AND
                    num=num&((t[i]&(1<<Dig))?1:0);
                else if(op[i]==2) //OR
                    num=num|((t[i]&(1<<Dig))?1:0);
                else //XOR
                    num=num^((t[i]&(1<<Dig))?

1:0);
            }
            ans[Dig+1][0]=num;

            num=1; //初始为1
            for(int i=1;i<=n;i++)
            {
                if(op[i]==1) //AND
                    num=num&((t[i]&(1<<Dig))?

1:0);
                else if(op[i]==2) //OR
                    num=num|((t[i]&(1<<Dig))?1:0);
                else //XOR
                    num=num^((t[i]&(1<<Dig))?1:0);
            }
            ans[Dig+1][1]=num;
        }

        bool flag=true; //flag=true表示当前前缀还是和m一样大的
        for(int i=32;i>len;i--) sol[i]=ans[i][0];
        for(int i=len;i>=1;i--)
        {
            if(!flag) //初始数字的第i位能够随便填
            {
                if(ans[i][0]) sol[i]=1;
                else if(ans[i][1]) sol[i]=1;
                else sol[i]=0;
            }
            else
            {
                if(digit[i]==1)
                {
                    if(ans[i][0])
                    {
                        flag=false;
                        sol[i]=1;
                    }
                    else if(ans[i][1]) sol[i]=1;
                    else
                    {
                        flag=false;
                        sol[i]=0;
                    }
                }
                else
                {
                    if(ans[i][0])
                        sol[i]=1;
                    else
                        sol[i]=0;
                }
            }
        }
        long long int sum=0;
        for(int i=32;i>=1;i--)
        {
            sum<<=1LL;
            sum|=(LL)sol[i];
        }
        printf("%lld\n",sum);
    }
}

int main()
{
    //freopen("in","r",stdin);
    //freopen("out_ceshi","w",stdout);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        char cmd[10];
        scanf("%s",cmd);
        if(cmd[0]=='A') op[i]=1;
        else if(cmd[0]=='O') op[i]=2;
        else if(cmd[0]=='X') op[i]=3;
        scanf("%d",&t[i]);
    }
    using namespace Biaozhun;
    solve();
    return 0;
}

Day 1.Problem B. 魔法森林

15分做法

直接做DFS暴力即可了

50分做法

考虑到一些点里a的范围比較小，因此我们能够枚举初始时携带的A精灵个数limitA。然后二分初始时携带的B精灵个数limitB，BFS来推断能否走到终点。因为边上的ai的值最多仅仅可能有边数m个，因此仅仅须要枚举每种不同的ai来作为limitA即可了，时间复杂度O(mlog(maxbi)n)

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <iostream>

using namespace std;

int n,m;
inline int read()
{
    int tmp=0;
    char ch=getchar();
    while(ch==' '||ch=='\n') ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9') tmp=tmp*10+ch-'0',ch=getchar();
    return tmp;
}

namespace BFSSearch
{
    const int MAXV=51000;
    const int MAXE=210000;

    struct edge
    {
        int u,v,next;
        int a,b;
    }edges[MAXE];

    int head[MAXV],nCount=0;

    void AddEdge(int U,int V,int A,int B)
    {
        edges[++nCount].u=U;
        edges[nCount].v=V;
        edges[nCount].a=A;
        edges[nCount].b=B;
        edges[nCount].next=head[U];
        head[U]=nCount;
    }

    int q[MAXE*2],h=0,t=0,S,T;
    int vis[MAXV],total=0;

    inline bool BFS(int limitA,int limitB)
    {
        total++;
        h=0,t=0;
        //memset(vis,false,sizeof(vis));
        //cout<<S<<' '<<T<<endl;
        q[t++]=1;
        vis[1]=total;
        while(h<t)
        {
            int u=q[h++];
            if(u==n)
                return true;
            for(int p=head[u];p!=-1;p=edges[p].next)
            {
                int v=edges[p].v;
                if(vis[v]==total) continue;
                if(edges[p].a<=limitA&&edges[p].b<=limitB)
                {
                    q[t++]=v;
                    vis[v]=total;
                }
            }
        }
        return false;
    }

    int sta[MAXE],top=0;
    int minans=1000000000;

    void solve()
    {
        memset(head,-1,sizeof(head));
        S=1,T=n;
        int maxB=0;
        int maxA=0;
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            int U,V,A,B;
            U=read(),V=read(),A=read(),B=read();
            AddEdge(U,V,A,B);
            AddEdge(V,U,A,B);
            sta[++top]=A;
            maxA=max(maxA,A); maxB=max(maxB,B);
        }
        if(n>5000&&m>10000&&maxA>30)
        {
            printf("-1\n");
            return;
        }
        sort(sta+1,sta+top+1);
        top=unique(sta+1,sta+top+1)-sta;
        for(int i=1;i<=top;i++)
        {
            bool flag=false;
            int costA=sta[i];
            if(!BFS(costA,maxB)) continue;
            int lowerBound=0,upperBound=maxB,costB=0;
            while(lowerBound<=upperBound)
            {
                int mid=(lowerBound+upperBound)>>1;
                if(BFS(costA,mid))
                {
                    flag=true;
                    costB=mid;
                    upperBound=mid-1;
                }
                else lowerBound=mid+1;
            }
            if(flag)
                minans=min(minans,costA+costB);
        }
        if(minans==1000000000) minans=-1;
        printf("%d\n",minans);
    }
}

int main()
{
    //freopen("in","r",stdin);
    //freopen("out_ceshi","w",stdout);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    using namespace BFSSearch;
    solve();
    return 0;
}

70分做法

我们能够和50分做法一样枚举ai最大值limitA。在全部的ai≤limitA的边里，维护一棵bi之和最小的MST，若在MST增加某条边i之后，点1和点n连通。那么显然此时limitB最小能够取bi。因为能够预处理对全部边进行排序。所以这样的做法时间复杂度是O(nm)。卡卡常数就能得到70分

//70分做法：Kruscal
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>

#define MAXN 210000

using namespace std;

struct edge
{
    int u,v,a,b;
}edges[MAXN];

int f[MAXN];

int findSet(int x)
{
    if(f[x]==x) return f[x];
    return f[x]=findSet(f[x]);
}

int read()
{
    int ans=0;
    char ch=getchar();
    while(ch==' '||ch=='\n') ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9') ans=ans*10+ch-'0',ch=getchar();
    return ans;
}

int n,m;
int sta[MAXN],top=0;
int minans=1000000000;

bool cmp(edge a,edge b)
{
    return a.b<b.b;
}

int Kruscal(int limitA)
{
    int tot=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=i;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        if(edges[i].a>limitA) continue;
        int rootu=findSet(edges[i].u),rootv=findSet(edges[i].v);
        if(rootu==rootv) continue;
        f[rootu]=rootv;
        tot++;
        if(findSet(1)==findSet(n)) return edges[i].b;
    }
    return -1;
}

int main()
{
    n=read(),m=read();
    for(int i=1;i<=m;i++)
        edges[i].u=read(),edges[i].v=read(),edges[i].a=read(),edges[i].b=read(),sta[++top]=edges[i].a;
    sort(sta+1,sta+top+1);
    sort(edges+1,edges+m+1,cmp);
    top=unique(sta+1,sta+top+1)-sta;
    for(int i=1;i<=top;i++)
    {
        int tmp=Kruscal(sta[i]);
        if(tmp!=-1) minans=min(minans,sta[i]+tmp);
    }
    if(minans==1000000000) minans=-1;
    printf("%d\n",minans);
    return 0;
}

100分做法：

我们能够用link-cut tree来维护此图的一个生成树。初始时。我们对全部边按ai升序排序，往MST里不断放入边，若当前边连接的是两个不同的联通块，则能够直接增加进去。否则若当前边的bi比MST中这条边的两端点连接的路径中bi最大的那条边的bi小的话。则能够增加这条边。并替换掉MST中这条边的两端点连接的路径中bi最大的那条边。若当前点1和点n连通的话，用当前路径上的max{ai}+max{bi}去更新答案

Day 1.Problem C. 消除游戏

第一个測试点

目測能够发现，第一个測试点的矩阵里是一条回文串+一条大质数构成的，手打输出数据就能得到10分

Day 2.Problem A. 动物园

15分做法

对于每一个前缀，暴力枚举它的每一个前缀能否满足题目的要求。

时间复杂度O(|S|3)

25分做法

与15分做法相似。对于每一个前缀，暴力枚举它的每一个前缀能否满足题目的要求。不同的是使用Hash而不是用暴力来匹配字符串。时间复杂度O(|S|2)

50分做法

定义cnt[i]=前缀i里。既是前缀又是后缀(注意没了长度要小于i的限制。也就是说前缀i也能够满足这一条件)的子串个数。

cnt[i]=1，如果前缀p是前缀i里最大的，既是前缀又是后缀，长度又≤i2的子串。那么num[i]=cnt[p](前缀p里既是前缀又是后缀的子串个数=[1,p]里是前缀、[i-p+1,i]里是后缀的子串个数)

考虑next指针。next[i]=前缀i里最大的既是前缀又是后缀、且长度<i的子串。我们能够从小到大枚举i，对于每一个i，从next[i]開始沿着next指针走。找出最大的既是前缀又是后缀、且长度≤i2的子串（前缀p）。可是构造一组全部是一种字母的(如aaaa)的字符串，就能使该算法退化到O(|S|2)，UOJ中实測50分。

100分做法

与50分做法基本上差点儿相同，可是对于每一个前缀i。不是暴力找p，能够发现p指针能够均摊O(1)求出。详细看代码

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <iostream>

#define MAXN 1100000
#define MOD 1000000007

using namespace std;

typedef long long int LL;

char s[MAXN];
int next[MAXN],n;
int cnt[MAXN];

void getnext()
{
    next[1]=0;
    int p=0;
    cnt[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        while(p&&s[p+1]!=s[i]) p=next[p];
        if(s[p+1]==s[i]) p++;
        next[i]=p;
        cnt[i]=cnt[p]+1;
    }
}

LL f[MAXN];

void calc()
{
    int p=0;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        while(p&&s[p+1]!=s[i]) p=next[p];
        if(s[p+1]==s[i]) p++;
        while(p&&p*2>i) p=next[p];
        f[i]=cnt[p];
    }
}

int main()
{
    //freopen("in","r",stdin);
    //freopen("out_ceshi","w",stdout);
    int T;
    scanf("%d",&T);
    //cout<<"dd"<<endl;
    while(T--)
    {
        memset(f,0,sizeof(f));
        scanf("%s",s+1);
        n=strlen(s+1);
        getnext();
        calc();
        //for(int i=1;i<=n;i++) cout<<f[i]<<" ";
        //cout<<endl;
        LL ans=1;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            ans=(ans*(f[i]+1))%MOD;
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

Day 2.Problem B. 随机数生成器

10分做法

DFS乱搞

60分做法

问题能够转述为，给棋盘中n+m-1个格子涂色。使得左上角的格子和右下角的格子四连通。

观察发现，要想让得到的序列的字典序尽量小。就应该从1到nm，从小到大填入数字，尽量把小数字都填色。每次给一个格子填色后，会使得该格子左下角和右上角的区域不能填色了。

因此我们能够用二维树状数组来维护每一个格子能否填色。

与一般的二维树状数组不同的是，这里须要支持区间更新、单点查询，因此能够使用差分约束系统，若对左上角为(x1,y1)，右下角为(x2,y2)的矩阵区间+1，就相当于在BIT中对(x1,y1)单点+1，(x2+1,y1)单点-1，(x2+1,y2+1)单点+1，(x1,y2+1)单点-1，例如以下图：

时间复杂度：O(nmlognlogm)

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <iostream>

#define calcpos(x,y) (((x)-1)*m+y)
#define lowbit(x) ((x)&(-(x)))

using namespace std;

typedef long long int LL;

LL lastx,a,b,c,d;
int n,m,Q;

int randnum()
{
    LL x=(((a*lastx)%d)*lastx%d+(b*lastx)%d+c)%d;
    lastx=x;
    return (int)x;
}

namespace Greedy
{
    const int MAXN=2100;
    int seq[MAXN*MAXN],pos[MAXN*MAXN]; //pos[i]=数字i在随机序列里的下标
    int ansseq[MAXN*3],top=0;
    bool used[MAXN*MAXN],vislayer[MAXN*3]; //used[(i,j)]=true表示(i,j)这个格子要被经过，vislayer[i]=true表示步数i所走的格子已经确定了
    int bit[MAXN][MAXN];

    void getRandomSeq(int len)
    {
        for(int i=1;i<=len;i++) seq[i]=i;
        for(int i=1;i<=len;i++)
            swap(seq[i],seq[(randnum()%i)+1]);
        for(int i=1;i<=Q;i++)
        {
            int u,v;
            scanf("%d%d",&u,&v);
            swap(seq[u],seq[v]);
        }
        for(int i=1;i<=len;i++) pos[seq[i]]=i;
    }

    inline bool inMap(int x,int y)
    {
        if(x<1||x>n||y<1||y>m) return false;
        return true;
    }

    inline void update(int x,int y,int val)
    {
        while(x<=n)
        {
            int tmpy=y;
            while(tmpy<=m)
            {
                bit[x][tmpy]+=val;
                tmpy+=lowbit(tmpy);
            }
            x+=lowbit(x);
        }
    }

    int query(int x,int y) //false表示(x,y)能够用
    {
        int ans=0;
        while(x)
        {
            int tmpy=y;
            while(tmpy)
            {
                ans+=bit[x][tmpy];
                tmpy-=lowbit(tmpy);
            }
            x-=lowbit(x);
        }
        return ans;
    }

    void Update(int zsx,int zsy,int yxx,int yxy)
    {
        yxx++,yxy++;
        update(yxx,yxy,-1);
        update(zsx,zsy,-1);
        update(yxx,zsy,1);
        update(zsx,yxy,1);
    }

    int Query(int zsx,int zsy,int yxx,int yxy)
    {
        zsx++,zsy++,yxx++,yxy++;
        return query(yxx,yxy)+query(zsx-1,zsy-1)-query(yxx,zsy-1)-query(zsx-1,yxy);
    }

    void solve()
    {
        getRandomSeq(n*m);
        int R=n*m;
        ansseq[++top]=seq[1];
        if(n!=1&&m!=1) ansseq[++top]=seq[R];
        int nowX,nowY;
        nowX=1,nowY=1;
        Update(nowX+1,1,n,nowY-1);
        Update(1,nowY+1,nowX-1,m);
        nowX=n,nowY=m;
        Update(nowX+1,1,n,nowY-1);
        Update(1,nowY+1,nowX-1,m);
        for(int i=1;i<=R;i++)
        {

            if(i==seq[1]||i==seq[R]) continue;
            int nowpos=pos[i];
            if(nowpos%m)
            {
                nowX=nowpos/m+1;
                nowY=nowpos%m;
            }
            else
            {
                nowX=nowpos/m;
                nowY=m;
            }
            //cout<<nowX<<" "<<nowY<<endl;
            //cout<<Query(nowX,nowY,nowX,nowY)<<" dd: "<<i<<endl;
            if(query(nowX,nowY)) continue;

            ansseq[++top]=i;
            if(top==n+m-1) break;
            Update(nowX+1,1,n,nowY-1);
            Update(1,nowY+1,nowX-1,m);
        }
        sort(ansseq+1,ansseq+top+1);
        for(int i=1;i<=top;i++)
            printf("%d ",ansseq[i]);
        printf("\n");
    }
}

int main()
{
    scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&lastx,&a,&b,&c,&d);
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&Q);
    using namespace Greedy;
    solve();
    return 0;
}

100分做法

很搞笑的是，此题满分做法比70分做法好写许多！

思路基本上和70分做法差点儿相同。仅仅只是维护每一个点能否够染色。从二维树状数组维护，变成了暴力维护。

因为每行能够染色的区域永远是一个连续的区间，因此我们仅仅须要记录每一行i所相应的可行染色区域[Li,Ri]即可，那么这样的话，每次查询某个格子能否够染色是O(1)的，而更新L[],R[]数组则是O(n)的，此题里，查询次数是O(nm)。更新次数则是O(n+m)，因此很奇妙的一幕发生了：这样的看上去很sb的暴力，复杂度仅有O(n(n+m))

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <iostream>

#define calcpos(x,y) (((x)-1)*m+y)
#define lowbit(x) ((x)&(-(x)))

using namespace std;

typedef long long int LL;

LL lastx,a,b,c,d;
int n,m,Q;

int randnum()
{
    LL x=((a*lastx+b)*lastx+c)%d;
    lastx=x;
    return (int)x;
}

namespace Greedy
{
    const int MAXN=5100;
    int seq[MAXN*MAXN],pos[MAXN*MAXN]; //pos[i]=数字i在随机序列里的下标
    int ansseq[MAXN*3],top=0;
    int L[MAXN],R[MAXN];

    void getRandomSeq(int len)
    {
        for(int i=1;i<=len;i++) seq[i]=i;
        for(int i=1;i<=len;i++)
            swap(seq[i],seq[(randnum()%i)+1]);
        for(int i=1;i<=Q;i++)
        {
            int u,v;
            scanf("%d%d",&u,&v);
            swap(seq[u],seq[v]);
        }
        for(int i=1;i<=len;i++) pos[seq[i]]=i;
    }

    void solve()
    {
        getRandomSeq(n*m);
        int End=n*m;
        ansseq[++top]=seq[1];
        if(n!=1&&m!=1) ansseq[++top]=seq[End];
        for(int i=1;i<=n;i++) L[i]=1,R[i]=m;
        for(int i=1;i<=End;i++)
        {
            int nowX,nowY;
            if(i==seq[1]||i==seq[End]) continue;
            int nowpos=pos[i];
            if(nowpos%m)
            {
                nowX=nowpos/m+1;
                nowY=nowpos%m;
            }
            else
            {
                nowX=nowpos/m;
                nowY=m;
            }
            //cout<<"nowX: "<<nowX<<" nowY: "<<nowY<<" L: "<<L[nowX]<<" R: "<<R[nowX]<<endl;
            if(nowY<L[nowX]||nowY>R[nowX]) continue;
            ansseq[++top]=i;
            if(top==n+m-1) break;
            for(int i=1;i<=nowX-1;i++)
                R[i]=min(R[i],nowY);
            for(int i=nowX+1;i<=n;i++)
                L[i]=max(L[i],nowY);
        }
        sort(ansseq+1,ansseq+top+1);
        for(int i=1;i<=top;i++)
            printf("%d ",ansseq[i]);
        printf("\n");
    }
}

int main()
{
    scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&lastx,&a,&b,&c,&d);
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&Q);
    using namespace Greedy;
    solve();
    return 0;
}

Day 2.Problem C. 购票

30分做法

暴力地求出树中每一层的结点是哪些。

然后我们依照树的层数为阶段做DP，f[i]=点i到根节点所需最少费用。那么f[i]能够转移到f[j]，当且仅当j在i的子树里。我们在dp f[i]时，直接沿着父亲指针往上爬来枚举j即可

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <vector>

#define MAXN 210000

using namespace std;

typedef long long int LL;

vector<int>listOfDep[MAXN];

int n,T;
pair<int,int>q[MAXN*2];
LL P[MAXN],Q[MAXN],dis[MAXN];

struct edge
{
    int u,v,next;
    LL w;
}edges[MAXN];

int head[MAXN],nCount=0;

void AddEdge(int U,int V,LL W)
{
    edges[++nCount].u=U;
    edges[nCount].v=V;
    edges[nCount].w=W;
    edges[nCount].next=head[U];
    head[U]=nCount;
}

int fa[MAXN];
int maxDep=0;
LL Depth[MAXN]; //Depth[i]=i到根节点的距离
LL f[MAXN];

void BFS()
{
    int h=0,t=1;
    q[h]=make_pair(1,1);
    listOfDep[1].push_back(1);
    Depth[1]=0;
    while(h<t)
    {
        int u=q[h].first,dep=q[h++].second;
        maxDep=max(maxDep,dep);
        for(int p=head[u];p!=-1;p=edges[p].next)
        {
            int v=edges[p].v;
            q[t++]=make_pair(v,dep+1);
            listOfDep[dep+1].push_back(v);
            Depth[v]=Depth[u]+edges[p].w;
        }
    }
}

void DP()
{
    f[1]=0;
    for(int depth=2;depth<=maxDep;depth++)
    {
        for(int id=0;id<listOfDep[depth].size();id++)
        {
            int i=listOfDep[depth][id];
            for(int j=fa[i];j;j=fa[j])
            {
                if(Depth[i]-Depth[j]>dis[i]) break;
                f[i]=min(f[i],f[j]+P[i]*(Depth[i]-Depth[j])+Q[i]);
            }
        }
    }
}

void solve()
{
    memset(head,-1,sizeof(head));
    memset(f,0x3f,sizeof(f));
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        LL w;
        scanf("%d%lld%lld%lld%lld",&fa[i],&w,&P[i],&Q[i],&dis[i]);
        AddEdge(fa[i],i,w);
    }
    BFS();
    DP();
    for(int i=2;i<=n;i++) printf("%lld\n",f[i]);
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&T);
    solve();
    return 0;
}