【BZOJ】【1211】【HNOI2004】树的计数

Prufer序列+组合数学

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　　嗯哼~给定每个点的度数！求树的种数！那么很自然的就想到是用prufer序列啦~（不知道prufer序列的……自己再找找资料吧，这里就不放了，可以去做一下BZOJ1005明明的烦恼）

　　那么我们令每个点的度数v[i]-1，得到每个节点在prufer序中的出现次数！

　　现在就是求这个prufer序有多少种了……有两种做法：

　　　　1.多重集排列数：n个元素，每种元素有a[i]个，求全排列的方案数，自己随便yy一下就可以得到$$ans=\frac{n!}{\prod (a[i]!)}$$

　　　　　意义就是：n个人全排列的数目是N!，然而对于第一种人，这a[1]个人站的顺序不同也只算一种，所以要除以(a[1]!)，以此类推，得到上述表达式。

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     Problem: 1211
     User: ProgrammingApe
     Language: C++
     Result: Accepted
     Time:0 ms
     Memory:1288 kb
 ****************************************************************/

 //BZOJ 1211
 #include<cmath>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<cstdlib>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i)
 #define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;++i)
 #define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;--i)
 #define pb push_back
 using namespace std;
 typedef long long LL;
 inline LL getint(){
     LL r=,v=; char ch=getchar();
     for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if (ch=='-') r=-;
     for(; isdigit(ch);ch=getchar()) v=v*-''+ch;
     return r*v;
 }
 const int N=;
 /*******************template********************/
 LL n,m,a[N],ans,fac[N],prime[N],tot;
 LL b[N];
 bool vis[N];
 void ready(int n){
     F(i,,n){
         if (!vis[i]) prime[++tot]=i;
         F(j,,tot){
             if (i*prime[j]>n) break;
             vis[i*prime[j]]=;
             if (i%prime[j]==) break;
         }
     }
 }
 void add(int k,int v){
 //  printf("add %d %d\n",k,v);
     F(i,,k){
         int x=i;
         F(j,,tot) while(x%prime[j]==){
             x/=prime[j];
             b[j]+=v;
         }
     }
 }
 int main(){
 #ifndef ONLINE_JUDGE
     freopen("tree.in","r",stdin);
     freopen("tree.out","w",stdout);
 #endif
     ready();
     n=getint();
     if (n==){
         a[]=getint();
         if (a[]!=) {puts(""); return ;}
         else {puts(""); return ;}
     }
     F(i,,n){
         a[i]=getint()-;
         if (a[i]< || a[i]>n-) {puts(""); return ;}
         m+=a[i];
     }
     if (m!=n-){puts(""); return ;}
     add(m,);
     F(i,,n) add(a[i],-);
     ans=;

     F(i,,tot)
         F(j,,b[i]) ans*=prime[i];
     printf("%lld\n",ans);
     return ;
 }

(多重集排列数)

　　　　2.组合数：n个位置，拿出a[1]个放第一种元素，再从剩下的(n-a[1])个里面选出a[2]个……所以有$$ans=\prod_{i=1}^{n} \binom{a[i]}{n-\sum_{j=0}^{i-1}(a[j])} $$

 /**************************************************************
     Problem: 1211
     User: ProgrammingApe
     Language: C++
     Result: Accepted
     Time:4 ms
     Memory:1288 kb
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 //BZOJ 1211
 #include<cmath>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<cstdlib>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i)
 #define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;++i)
 #define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;--i)
 #define pb push_back
 using namespace std;
 typedef long long LL;
 inline LL getint(){
     LL r=,v=; char ch=getchar();
     for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if (ch=='-') r=-;
     for(; isdigit(ch);ch=getchar()) v=v*-''+ch;
     return r*v;
 }
 const int N=;
 /*******************template********************/
 LL n,m,a[N],ans,fac[N],prime[N],tot;
 LL b[N];
 bool vis[N];
 void ready(int n){
     F(i,,n){
         if (!vis[i]) prime[++tot]=i;
         F(j,,tot){
             if (i*prime[j]>n) break;
             vis[i*prime[j]]=;
             if (i%prime[j]==) break;
         }
     }
 }
 void add(int k,int v){
 //  printf("add %d %d\n",k,v);
     F(i,,k){
         int x=i;
         F(j,,tot) while(x%prime[j]==){
             x/=prime[j];
             b[j]+=v;
         }
     }
 }
 inline void C(int a,int b){ add(a,); add(b,-); add(a-b,-);}
 int main(){
 #ifndef ONLINE_JUDGE
     freopen("tree.in","r",stdin);
     freopen("tree.out","w",stdout);
 #endif
     ready();
     n=getint();
     if (n==){
         a[]=getint();
         if (a[]!=) {puts(""); return ;}
         else {puts(""); return ;}
     }
     F(i,,n){
         a[i]=getint()-;
         if (a[i]< || a[i]>n-) {puts(""); return ;}
         m+=a[i];
     }
     if (m!=n-){puts(""); return ;}
     F(i,,n) if (a[i]){
         C(m,a[i]);
         m-=a[i];
     }
     ans=;
     F(i,,tot)
         F(j,,b[i]) ans*=prime[i];
     printf("%lld\n",ans);
     return ;
 }

(组合数，处理阶乘时枚举每个数，进行分解质因数)

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     Problem: 1211
     User: ProgrammingApe
     Language: C++
     Result: Accepted
     Time:0 ms
     Memory:1288 kb
 ****************************************************************/

 //BZOJ 1211
 #include<cmath>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<cstdlib>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i)
 #define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;++i)
 #define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;--i)
 #define pb push_back
 using namespace std;
 typedef long long LL;
 inline LL getint(){
     LL r=,v=; char ch=getchar();
     for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if (ch=='-') r=-;
     for(; isdigit(ch);ch=getchar()) v=v*-''+ch;
     return r*v;
 }
 const int N=;
 /*******************template********************/
 LL n,m,a[N],ans,fac[N],prime[N],tot;
 LL b[N];
 bool vis[N];
 void ready(int n){
     F(i,,n){
         if (!vis[i]) prime[++tot]=i;
         F(j,,tot){
             if (i*prime[j]>n) break;
             vis[i*prime[j]]=;
             if (i%prime[j]==) break;
         }
     }
 }
 void add(int k,int v){
 //  printf("add %d %d\n",k,v);
     F(j,,tot){
         int x=k;
         while(x){
             b[j]+=x/prime[j]*v;
             x/=prime[j];
         }
     }
 }
 inline void C(int a,int b){ add(a,); add(b,-); add(a-b,-);}
 int main(){
 #ifndef ONLINE_JUDGE
     freopen("tree.in","r",stdin);
     freopen("tree.out","w",stdout);
 #endif
     ready();
     n=getint();
     if (n==){
         a[]=getint();
         if (a[]!=) {puts(""); return ;}
         else {puts(""); return ;}
     }
     F(i,,n){
         a[i]=getint()-;
         if (a[i]< || a[i]>n-) {puts(""); return ;}
         m+=a[i];
     }
     if (m!=n-){puts(""); return ;}
     F(i,,n) if (a[i]){
         C(m,a[i]);
         m-=a[i];
 //  F(j,1,4) cout <<prime[j]<<' '<<b[j]<<endl;
     }
 //  add(m,1);
 //  F(i,1,n) add(a[i],-1);
     ans=;
 //  F(j,1,4) cout <<prime[j]<<' '<<b[j]<<endl;
     F(i,,tot)
         F(j,,b[i]) ans*=prime[i];
     printf("%lld\n",ans);
     return ;
 }

(组合数，处理阶乘时直接处理n，分解质因数)

　　嗯在看代码之前还有几句要说：这题有$n\leq 150$，所以直接预处理阶乘是不太现实的……所以在这里我用了分解质因数进行快速乘除（这样做高精乘除快->变成质因子次数的加减，普通高精加减快）

　　然后也学到了一种快速对阶乘进行因式分解的姿势>_<happy~

1211: [HNOI2004]树的计数

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Description

一个有n个结点的树，设它的结点分别为v1, v2, …, vn，已知第i个结点vi的度数为di，问满足这样的条件的不同的树有多少棵。给定n，d1, d2, …, dn，编程需要输出满足d(vi)=di的树的个数。

Input

第一行是一个正整数n，表示树有n个结点。第二行有n个数，第i个数表示di，即树的第i个结点的度数。其中1<=n<=150，输入数据保证满足条件的树不超过10^17个。

Output

输出满足条件的树有多少棵。

Sample Input

4
2 1 2 1

Sample Output

2

HINT

Source

组合数学

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