【提高组NOIP2008】双栈排序 (twostack.pas/c/cpp)

【题目描述】

Tom最近在研究一个有趣的排序问题。如图所示，通过2个栈S1和S2，Tom希望借助以下4种操作实现将输入序列升序排序。

操作a

如果输入序列不为空，将第一个元素压入栈S1

操作b

如果栈S1不为空，将S1栈顶元素弹出至输出序列

操作c

如果输入序列不为空，将第一个元素压入栈S2

操作d

如果栈S2不为空，将S2栈顶元素弹出至输出序列

如果一个1~n的排列P可以通过一系列操作使得输出序列为1，2，…，(n-1)，n，Tom就称P是一个“可双栈排序排列”。例如(1,3,2,4)就是一个“可双栈排序序列”，而(2,3,4,1)不是。下图描述了一个将(1,3,2,4)排序的操作序列：

当然，这样的操作序列有可能有几个，对于上例(1,3,2,4)，是另外一个可行的操作序列。Tom希望知道其中字典序最小的操作序列是什么。

【输入】

输入文件twostack.in的第一行是一个整数n。

第二行有n个用空格隔开的正整数，构成一个1~n的排列。

【输出】

输出文件twostack.out共一行，如果输入的排列不是“可双栈排序排列”，输出数字0；否则输出字典序最小的操作序列，每两个操作之间用空格隔开，行尾没有空格。

样例输入	样例输出
4 1 3 2 4	a b a a b b a b
4 2 3 4 1	0
3 2 3 1	a c a b b d

【数据范围限制】

30%的数据满足： n<=10

50%的数据满足： n<=50

100%的数据满足： n<=1000

【题解】

这题有一点难度。

比赛时，我一看到这道题目，就想到了一种很WS的东西：暴力模拟！

然后就只拿了 27.3 分

其实这道题目要用到一种神奇的东西—— 二分图染色

大体的思路就是先处理好每一个数要进入的栈，再暴力模拟一遍就好了。

设 s[i] 表示输入的第i个数

设 f[i] 表示从第i个数起到第n个数的 最小值

我们会发现，总有一些数字是不能在同一个栈里的（由始至终都不可以哦~）。

如果 i < j < k，且 s[k] < s[i] < s[j]，那么s[i]和s[j]就一定不能出现在同一个栈里面。

论证方法就不写了。

但每次都枚举i,j,k，明显会时超。

所以我们就可以用到 f 数组了！

认真地再看一看这条语句：

如果 i < j < k，且 s[k] < s[i] < s[j]，那么s[i]和s[j]就一定不能出现在同一个栈里面。

也就是说，如果 \(\space j+1 到 n之间的最小值\space\space <s[i]<s[j]\)，i,j就不能同时出现在同一个栈中。

也就是$当 f[j+1] < s[i]<s[j]( i< j ) $时，i,j就不能同时出现在同一个栈中。

这样连边就能只用一个双重循环来做了。

再设 c[i] 表示第i个数要进去的栈（栈S1用1表示，栈S2用2表示，初始化为0）

我们就开始枚举1~N的所有数字i，只要c[i]为0，就把c[i]赋值（染色）为1（这样一定最优），然后开始枚举与 i 有连边的数 j，把c[j]赋值为和c[i]的值相反的数（即当c[i]=1,c[j]=2;c[i]=2,c[j]=1），并从j那里出发，继续染与j有连边的数……如果碰到c[j]已经被赋（染）过值了，并且c[i]=c[j]，那肯定是无法排序的了，输出0并结束程序就好了。

染色用DFS来做。

最后根据c[i]的值，暴力模拟一遍就可以了。

下面来说一下一些细节：

1. 连边时一定要连 双向边，譬如要在 x,y 之间连一条边，都要连两条单向的边 x,y 和 y,x，存边最好用 邻接表 ；
2. 连完边后，要把1到n的数都走一次 递归 ，并把与这个数相连的所有数染完色后，从这些数继续递归染色；
3. 每个数都只递归一次，因为重复地递归同一个数，是浪费时间而没有半点用处的；
4. 有一种特殊的情况，就是当栈S2的栈顶可以弹栈，而S1又可以从输入的栈加入一个数时，一定要先读入，后弹栈——因为如果先弹栈，后输入，那输出队列里存的就是 d a 了，这样明显不如 a d 那么优。

建议还不太明白的同学来模拟一些这个数据：

14

2 3 1 4 14 6 12 5 11 13 7 8 9 10

还有不懂的同学可以来找我。

下面附上标程，可以参考一下。

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
using namespace std;
#define MAX 0x7fffffff
int s[1010],f[1010],c[1010],a[1010],b[1010],edge[1010][1001];
char st[5010];bool bk[1010];
void inc(int x,int y)//建边（一定要是双向的），用领接表储存
{
	edge[x][++edge[x][0]]=y;
	edge[y][++edge[y][0]]=x;
}
void build(int k)//二分图染色
{
	if(bk[k]) return;
	bk[k]=true;
	if(c[k]==0) c[k]=1;
	int i,j;
	for(i=1;i<=edge[k][0];i++)
	{
		j=edge[k][i];
		if(c[k]==c[j])
		{
			puts("0");
			exit(0);
		}
		if(c[k]==1) c[j]=2;
		else c[j]=1;
		build(j);
	}
}
int main()
{
	freopen("twostack.in","r",stdin);
	freopen("twostack.out","w",stdout);
	int n,i,j,k,ans=0,next=1;
	scanf("%d",&n);
	f[n+1]=MAX;
	for(i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&s[i]);
	for(i=n;i>0;i--)
	{
		if(s[i]>f[i+1]) f[i]=f[i+1];
		else f[i]=s[i];
	}
	for(i=1;i<n;i++)
	{
		for(j=i+1;j<n;j++)
		{
			if(s[i]<s[j]&&s[i]>f[j+1]) inc(i,j);
		}
	}
	for(i=1;i<=n;i++) build(i);//染色
	for(i=1;i<=n;i++)//暴力模拟
	{
		if(c[i]==1)
		{
			st[++ans]='a';
			++a[0];
			a[a[0]]=s[i];
		}
		else
		{
			st[++ans]='c';++b[0];
			b[b[0]]=s[i];
		}
		while(a[a[0]]==next)
		{
			st[++ans]='b';
			next++;a[0]--;
		}
		while(b[b[0]]==next)
		{
			if(i<n&&(a[0]==0||(c[i+1]==1&&a[a[0]]>s[i+1])))
			{
				i++;++a[0];
				a[a[0]]=s[i];
				st[++ans]='a';
			}
			st[++ans]='d';
			next++;b[0]--;
		}
		while(a[a[0]]==next)
		{
			st[++ans]='b';
			next++;a[0]--;
		}
	}
	while(a[0]>0||b[0]>0)
	{
		while(a[a[0]]==next)
		{
			st[++ans]='b';
			next++,a[0]--;
		}
		while(b[b[0]]==next)
		{
			st[++ans]='d';
			next++,b[0]--;
		}
	}
	for(i=1;i<ans;i++) printf("%c ",st[i]);
	printf("%c\n",st[ans]);
	return 0;
}