SA & SAM

后缀数组SA

\(sa[i]\)与\(rk[i]\)

• \(sa[i]\) 表示排名为 \(i\) 的后缀是哪一个（在原串中开头位置）。
• \(rk[i]\)(或\(rank[i]\))表示开头位置是 \(i\) 的后缀的排名。

两者是互相映射关系，即 \(sa[rk[i]] = i\)。

后缀排序（倍增）

假设我们求出了只考虑长度为\(w\)的每一个后缀的前缀的 \(sa\) 和 \(rk\)，怎么求考虑长度为 \(2w\) 的每一个后缀的前缀的\(sa\)和\(rk\) .

对于两个后缀 \(i\) 和\(j\)， 由于我们求出了在 \(w\) 下的 $sa $ 和 \(rk\)，实际上可以通过比较两个二元组 \((rk_i,rk_{i+w}),(rk_j, rk_{j+w})\)来确定大小关系，这里定义一个后缀\(i\)的两维度：第一维字符串\([i...i+w-1]\)，第二维字符串\([i+w,i+2w-1]\)。

为了方便实现以及减小常数，我们开一个辅助数组\(tmp[i]\)表示上一轮排序（长度\(w\)），排名为 \(i\) 的后缀的长度为\(w\)的前缀对应的是现在的哪一个后缀的第二维，\(tmp\)可以由\(w\)下的\(sa\)求得。

cnt = 0;
for (int i = n - w + 1; i <= n; ++ i) tmp[++cnt] = i;
for (int i = 1; i <= n; ++ i) if (sa[i] > w) tmp[++cnt] = sa[i] - w;

那么基数排序时先把所有 \(rk\) 放进桶里，然后用\(tmp\)数组从大到小在它对应的后缀的排名的桶里给\(sa\)求出新排完序的位置（有点拗口，可能讲的也不是很清楚，看代码）。

inline void Rsort()
{
    fill(buc, buc + 1 + M, 0);
    for (int i = 1; i <= n; ++ i) buc[rk[i]]++;
    for (int i = 1; i <= M; ++ i) buc[i] += buc[i - 1];
    for (int i = n; i >= 1; -- i) sa[buc[rk[tmp[i]]]--] = tmp[i];//好好体会下这句话（其实是我说不出来）
}

贴完整代码：（注意那个 \(swap\) 操作）

M = 76;//字符集
for (int i = 1; i <= n; ++ i)
 	rk[i] = str[i - 1] - '0', tmp[i] = i;
Rsort();
for (int w = 1, cnt = 0; cnt < n; w <<= 1, M = cnt)
{
     cnt = 0;
     for (int i = n - w + 1; i <= n; ++ i) tmp[++cnt] = i;
     for (int i = 1; i <= n; ++ i) if (sa[i] > w) tmp[++cnt] = sa[i] - w;
     Rsort(), swap(rk, tmp); rk[sa[1]] = cnt = 1;
     for (int i = 2; i <= n; ++ i)
        rk[sa[i]] = (tmp[sa[i]] == tmp[sa[i - 1]] && tmp[sa[i] + w] == tmp[sa[i - 1] + w]) ? cnt : ++cnt;//swap后tmp就是原来的rk数组
}

Height数组

\(height[i]\) 表示 \(lcp(sa[i], sa[i - 1])\) ，即排名为 \(i\) 的后缀和排名 \(i-1\) 的后缀的最长公共前缀。

\(H[i]\) 表示 \(height[rk[i]]\) ，即后缀\(i\)和排在它前面一位的最长公共前缀。

性质：\(H[i]\geq H[i - 1] - 1\)

证明：设 \(i-1\) 号后缀和 \(k\) 号后缀在排序中是相邻的（\(rk[i - 1] = rk[k] + 1\)），那么 \(H[i - 1] = height[rk[i-1]]\)，那么 \(i\) 号后缀会和 \(k-1\) 号后缀有长度为 \(H[i - 1] - 1\) 的公共前缀，所以此时必然有 \(H[i]\geq H[i - 1] - 1\) 。

求 \(Height\) 数组:

void getHt()
{
    int len = 0;
    For (i, 1, n)
    {
        if (len) len --;
        int j = sa[rk[i] - 1];
        while (str[j + len - 1] = str[i + len - 1]) len ++;
        ht[rk[i]] = len;
    }
}

经典应用

1. 求 \(lcp(x, y)\)

\(lcp(x, y) = min(height[rk[x] + 1],\cdots ,height[rk[y]])\)默认 \(x\) 排名小于 \(y\) 排名，用 \(rmq\) 维护。

2.本质不同的子串数量

排名为 \(i\) 的后缀对答案的贡献为 \(len(i) - height[i]\)。

后缀自动机(SAM)

本文只是为了方便复习，而不适合用来学习SAM。

学习的话推荐吴作同的课件及oi-wiki上的教程

SAM中的每一个状态（点）对应的是一个endpos集合，且互不相同，否则两个状态可以合并。

后文可能会说到点的endpos，代表的意义就是这个点接受子串的endpos，之后不再区分。

SAM中每一个状态接受的子串长度是连续的，比如：ba,bba,cbba，结合 endpos 的定义理解下。

maxlen 与 minlen

一个状态的maxlen为它接受的最长的子串，如一个点接受的串为 ba, bba, cbba， 那么它的maxlen就是4。

minlen同理。

后缀链接link

两个状态 \(fa\) 和 \(u\) ，若有

• \(endpos(u)\subseteq endpos(fa)\)

• \(endpos(fa)\) 的大小是满足上面条件下最小的那一个

那么 \(u\) 的后缀链接为 \(fa\) 。

对于一个点显然只有一个 \(link\) ，所以这个结构是一颗以 \(t_0\) 为根的树，称它为 \(parent\) 树。

由 \(endpos\) 及 \(link\) 的定义，\(minlen(u) = maxlen(link(u)) + 1\) 。

所以想象一下，每个状态接受的串末尾对齐是一个梯形的形状（他们的endpos是一样的），如

  bacas
 bbacas
cbbacas

而它把它和它所以祖先接受的串按从上到下的顺序拼接，会是一个完美的等腰直角三角形，如

\(link(u)\) 是这样：

 cas
acas

\(u\) 是这样:

  bacas
 bbacas
cbbacas

把u和它所有祖先的串拼起来：

	  s
	 as
	---分界
	cas
   acas
  -----分界
  bacas
 bbacas
cbbacas

体会到一些东西了吧，parent树还有一个性质：它是 \(s\) 的反串的后缀树！

一个点到根的parent树上的状态的转移边是有单调性的，即一个存在一个节点它所有祖先都有 \(c\) 这条边，而它下面的点都没有这条边，由于一个点的endpos集合是被其父亲包含的，所以不难证明这一点。

构造 \(\&\) 实现：

看吴作同的课件，自己手动模拟下。

变量声明：

int Ncnt, last;//Ncnt　节点数(不包括根节点０)，last 插入上一个字符接受所有后缀的节点。
struct Status
{
    int len, link;
    //link  后缀链接
    //len 该状态接受的最长串长度，即 maxlen,这里不记minlen是因为可以由link的maxlen推得。
    int ch[26];//这里默认小写字母，26条转移边
} st[maxN + 2];

算法流程：

我们从前往后一个个加入字符：设当前加入SAM中的 \(s\) 长 \(len\)

新建节点 \(cur\), \(st[cur].len\leftarrow st[last].len + 1\)，把最长的后缀接受过来。

然后考虑在尾部加入字符 \(c\) 后 可能 会影响哪些状态，那么就是 \(endpos\) 包含了最后一位的的状态，即last的所有祖先，由于到根路径上的点的转移边是有单调性的，所以只需要考虑最下面的一段。

所以我们跳 \(last\) 的后缀链接，直到该点拥有 \(c\) 这条出边或者到根，否则向 \(cur\) 连一条 \(c\) 的转移边，每向 \(cur\) 连一条边，它接受的字符串的梯形就会变高（想象一下），\(minlen\) 就会更新为当前跳到的点的 \(minlen+1\)。

假设我们跳到 \(p\) ，跳上来的那个儿子是 \(son\) ，它通过 \(c\) 转移到 \(q\) ，有可能会出现这样的两种情况：

• \(maxlen(q) = minlen(son)+1\) 那么把 \(cur\) 的 \(link\) 指向 \(q\) ，\(cur\) 的所有祖先和它的串就正好形成了一个等腰三角形，注意到 \(maxlen(q) = minlen(son)+1\) 和 \(maxlen(q) = maxlen(p) + 1\) 是等价的，因为 \(maxlen(p) = minlen(cur) - 1=minlen(son) - 2\)。

• \(maxlen(q) \not= minlen(son)+1\) 这时可以理解成它不能和 \(cur\) 接受的梯形完美拼合上，所以我们把它拆成两个节点，即 \(q \rightarrow q' \&\ clone\) ，令 \(clone\) 的 \(maxlen = maxlen(p) + 1\) 让 \(cur\) 和 \(q'\) 的 \(link\) 指向 \(clone\) ，$ clone$ 的后缀链接依然是 \(q\) 的后缀链接 ，并把 \(q\) 的所以出边复制到 \(clone\) 上，再把 \(p\) 到根路径上出边 \(c\) 指向 \(q\) 的点指向 \(clone\) 。

这样就处理完增加一个字符对SAM结构的影响。

代码:

namespace SAM
{
	int Ncnt, last, size[2 * maxN + 2];
	struct Status
	{
		int link, len;
		int ch[26];
	} st[2 * maxN + 2];
	void init() { last = 0, st[0].link = -1, st[0].len = 0; }//插入第一个字符前记得初始化
	void insert(char ch)
	{
		int c = ch - 'a';
		int cur = ++Ncnt;
		int p = last;
		st[cur].len = st[last].len + 1;
		while (p != -1 and !st[p].ch[c])//把所有last不含c边的祖先向cur连边。
		{
			st[p].ch[c] = cur;
			p = st[p].link;
		}
		if (p == -1)
			st[cur].link = 0;
		else
		{
			int q = st[p].ch[c];
			if (st[q].len == st[p].len + 1)
				st[cur].link = q;
			else
			{
				int clone = ++Ncnt;
				st[clone] = st[q];
				st[clone].len = st[p].len + 1; //把 q 拆出来个 clone
				while (p != -1 and st[p].ch[c] == q) //把所有p的祖先转移到q的c边连向clone
				{
					st[p].ch[c] = clone;
					p = st[p].link;
				}
				st[cur].link = st[q].link = clone;//更新link
			}
		}
		last = cur;
	}
}