多元线性回归公式推导及R语言实现

多元线性回归

多元线性回归模型

实际中有很多问题是一个因变量与多个自变量成线性相关，我们可以用一个多元线性回归方程来表示。

为了方便计算，我们将上式写成矩阵形式:

Y = XW

• 假设自变量维度为N
• W为自变量的系数，下标0 - N
• X为自变量向量或矩阵，X维度为N,为了能和W0对应，X需要在第一行插入一个全是1的列。
• Y为因变量
  
  那么问题就转变成，已知样本X矩阵以及对应的因变量Y的值，求出满足方程的W，一般不存在一个W是整个样本都能满足方程，毕竟现实中的样本有很多噪声。最一般的求解W的方式是最小二乘法。

最小二乘法

我们希望求出的W是最接近线性方程的解的，最接近我们定义为残差平方和最小，残差的公式和残差平方和的公式如下：

上面的公式用最小残差平方和的方式导出的，还有一种思路用最大似然的方式也能推导出和这个一样的公式，首先对模型进行一些假设：

• 误差等方差不相干假设，即每个样本的误差期望为0，每个样本的误差方差都为相同值假设为σ
• 误差密度函数为正态分布 e ~ N(0, σ^2)

简单推导如下:

由此利用最大似然原理导出了和最小二乘一样的公式。

最小二乘法求解

二次函数是个凸函数，极值点就是最小点。只需要求导数=0解出W即可。

模拟数据

我们这里用R语言模拟实践一下，由于我们使用的矩阵运算，这个公式一元和多元都是兼容的，我们为了可视化方便一点，我们就用R语言自带的women数据做一元线性回归，和多元线性回归的方式基本一样。

women数据如下

> women
   height weight
1      58    115
2      59    117
3      60    120
4      61    123
5      62    126
6      63    129
7      64    132
8      65    135
9      66    139
10     67    142
11     68    146
12     69    150
13     70    154
14     71    159
15     72    164

体重和身高具有线性关系，我们做一个散点图可以看出来：

我们用最小二乘推导出来的公式计算w如下

X <- cbind(rep(1, nrow(women)), women$height)
X.T <- t(X)
Y <- women$weight
w <- solve(X.T %*% X) %*% X.T %*% Y
> w
          [,1]
[1,] -87.51667
[2,]   3.45000
> lm.result <- lm(women$weight~women$height)
> lm.result

Call:
lm(formula = women$weight ~ women$height)

Coefficients:
 (Intercept)  women$height
      -87.52          3.45

上面的R代码w使我们利用公式计算出来的，下边是R语言集成的线性回归函数拟合出来的，可以看出我们的计算结果是正确的，lm的只是小数点取了两位而已，将回归出来的函数画到图中看下回归的效果。



画图对应的R代码如下，用R的感觉.....太飘逸了。

> png(file="chart2.png")
> plot(women$height, women$weight)
> lines(women$height, X %*% w)
> dev.off()

梯度下降法

除了用正规方程方式求解W，也可以用最常见的梯度下降法求得W，因为最小二乘是个凸函数，所以这里找到的极小点就是最小点。下面这段代码用R写还是非常容易的，但是刚开始step步长参数调的太大了，导致一直不收敛，我还

以为是程序错误，后来怎么看也没写错，就把参数调了个很小值，结果就收敛了。step的这个取值其实应该是变化的，先大后下比较科学，我这个调的很小，需要接近500万次才能收敛。

• 初始化W 为全0向量，也可以随机一个向量
• 设置最大迭代次数，本例为了收敛设置了一个很大的数
• 设置步长step，小了收敛很慢，大了不收敛.......
• 求损失函数的梯度
• W(k+1) 为 W(k) + 损失函数负梯度 * 步长step
• 循环，直到梯度接近0

X <- cbind(rep(1, nrow(women)), women$height)
Y <- women$weight
maxIterNum <- 5000000;
step <- 0.00003;
W <- rep(0, ncol(X))
for (i in 1:maxIterNum){
    grad <- t(X) %*% (X %*% W -  Y);
    if (sqrt(as.numeric(t(grad) %*% grad)) < 1e-3){
        print(sprintf('iter times=%d', i));
        break;
    }
    W <- W - grad * step;
}
print(W);

输出

[1] "iter times=4376771"

print(W);

[,1]

[1,] -87.501509

[2,] 3.449768

归一化

上面的批量梯度下降为什么收敛如此之慢呢？原因很简单，没有做归一化，做了归一化，收敛速度快了非常非常多！！！！

正确代码如下：

XScale = scale(women$height)
Ux = attr(XScale, "scaled:center")
Dx = attr(XScale, "scaled:scale")
YScale = scale(women$weight)
Uy = attr(YScale, "scaled:center")
Dy = attr(YScale, "scaled:scale")
X <- cbind(rep(1, nrow(women)), as.matrix(XScale))
Y <- as.matrix(YScale)
maxIterNum <- 5000;
step <- 0.001;
W <- rep(0, ncol(X))
for (i in 1:maxIterNum){
    grad <- t(X) %*% (X %*% W -  Y);
    if (sqrt(as.numeric(t(grad) %*% grad)) < 1e-6){
        print(sprintf('iter times=%d', i));
        break;
    }
    W <- W - grad * step;
}
print(W);
W0 = W[1]
Wn = W[2:length(W)]
Wn = Dy * Wn / Dx
W0 = Uy + Dy * W0 - Dy * Ux / Dx
W  = c(W0, Wn)
print(W);

输出

[1] "iter times=1168"

print(W);

-88.53154 3.45000

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