UOJ #269. 【清华集训2016】如何优雅地求和
UOJ #269. 【清华集训2016】如何优雅地求和
给定一个\(m\)次多项式\(f(x)\)的\(m+1\)个点值:\(f(0)\)到\(f(m)\)。
然后求:
\]
考虑一个很巧妙的变化:组合数多项式!
设:
\]
可以这么玩的原因是\(\binom{n}{m}\)其实是一个关于\(n\)的\(m\)次的多项式。因为\(\binom{n}{m}=\frac{\prod_{i=1}^m(n-i+1)}{m!}\)。
这就能理解为什么输入的是\(m+1\)个点值了,因为这样我们就能用二项式反演来求出\(h\):
对于\(m<i\leq n\),我们直接认为\(h_i=0\),因为只需要\(m\)项的\(h\)就可以确定\(f\)了。
\Rightarrow h_n=\sum_{i=0}^n (-1)^{n-i}\binom{n}{i}f_i
\]
写成卷积形式:
\]
再来算答案。
考虑对\(f\)的每一项计算:
Q(f,n,x) &=\sum_{i=0}^mh_i\sum_{k=i}^n\binom{k}{i}\binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k} \\
\end{align}
\]
我们知道:
\]
所以:
Q(f,n,x) &=\sum_{i=0}^mh_i\sum_{k=i}^n\binom{k}{i}\binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k} \\
&=\sum_{i=0}h_i\sum_{k=i}^n\binom{n}{i}\binom{n-i}{k-i}x^k(1-x)^{n-k}\\
&=\sum_{i=0}h_i\binom{n}{i}x^i \sum_{k=i}^n\binom{n-i}{k-i}x^{k-i}(1-x)^{n-k}\\
&=\sum_{i=0}h_i\binom{n}{i}x^i(x+1-x)^{n-i}\\
&=\sum_{i=0}h_i\binom{n}{i}x^i\\
\end{align}
\]
代码:
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define N 20005
using namespace std;
inline int Get() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}
const ll mod=998244353;
ll ksm(ll t,ll x) {
ll ans=1;
for(;x;x>>=1,t=t*t%mod)
if(x&1) ans=ans*t%mod;
return ans;
}
int n,m,x;
ll f[N];
void NTT(ll *a,int d,int flag) {
static int rev[N<<2];
static ll G=3;
int n=1<<d;
for(int i=0;i<n;i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<d-1);
for(int i=0;i<n;i++) if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
for(int s=1;s<=d;s++) {
int len=1<<s,mid=len>>1;
ll w=flag==1?ksm(G,(mod-1)/len):ksm(G,mod-1-(mod-1)/len);
for(int i=0;i<n;i+=len) {
ll t=1;
for(int j=0;j<mid;j++,t=t*w%mod) {
ll u=a[i+j],v=a[i+j+mid]*t%mod;
a[i+j]=(u+v)%mod;
a[i+j+mid]=(u-v+mod)%mod;
}
}
}
if(flag==-1) {
ll inv=ksm(n,mod-2);
for(int i=0;i<n;i++) a[i]=a[i]*inv%mod;
}
}
ll A[N<<2],B[N<<2];
ll H[N];
ll fac[N<<2],ifac[N<<2];
ll C(int n,int m) {return fac[n]*ifac[m]%mod*ifac[n-m]%mod;}
ll down[N];
ll CC(int n,int m) {
if(!m) return 1;
return down[m]*ifac[m]%mod;
}
int main() {
n=Get(),m=Get(),x=Get();
for(int i=0;i<=m;i++) f[i]=Get();
fac[0]=1;
for(int i=1;i<=m;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
ifac[m]=ksm(fac[m],mod-2);
for(int i=m-1;i>=0;i--) ifac[i]=ifac[i+1]*(i+1)%mod;
int d=ceil(log2(2*m+1));
ll flag=1;
for(int i=0;i<=m;i++,flag=flag*(mod-1)%mod) A[i]=flag*ifac[i]%mod;
for(int i=0;i<=m;i++) B[i]=f[i]*ifac[i]%mod;
NTT(A,d,1),NTT(B,d,1);
for(int i=0;i<1<<d;i++) A[i]=A[i]*B[i]%mod;
NTT(A,d,-1);
for(int i=0;i<=m;i++) H[i]=A[i]*fac[i]%mod;
ll ans=0;
down[1]=n;
for(int i=2;i<=m;i++) down[i]=down[i-1]*(n-i+1)%mod;
for(int i=0;i<=m;i++) (ans+=H[i]*ksm(x,i)%mod*CC(n,i))%=mod;
cout<<ans;
return 0;
}
UOJ #269. 【清华集训2016】如何优雅地求和的更多相关文章
- [清华集训2016]如何优雅地求和——NTT
题目链接: [清华集训2016]如何优雅地求和 题目大意:给出一个多项式$m+1$个点值$a_{0},a_{1}...a_{m}$(其中$f(i)=a_{i}$),并给出两个数$n,x$,求$Q(f, ...
- 洛谷 P6667 - [清华集训2016] 如何优雅地求和(下降幂多项式,多项式)
题面传送门 wjz:<如何优雅地 AK NOI> 我:如何优雅地爆零 首先,按照这题总结出来的一个小套路,看到多项式与组合数结合的题,可以考虑将普通多项式转为下降幂多项式,因为下降幂和组合 ...
- UOJ269 清华集训2016 如何优雅地求和 下降幂多项式、NTT
代码 神仙题? 看到连续的点值,那么一定是要利用到连续点值的性质,可以考虑下降幂多项式,即考虑多项式\(F(x) = \sum\limits_{i=0}^m a_ix^{\underline i}\) ...
- [UOJ#274][清华集训2016]温暖会指引我们前行
[UOJ#274][清华集训2016]温暖会指引我们前行 试题描述 寒冬又一次肆虐了北国大地 无情的北风穿透了人们御寒的衣物 可怜虫们在冬夜中发出无助的哀嚎 “冻死宝宝了!” 这时 远处的天边出现了一 ...
- BZOJ 4732 UOJ #268 [清华集训2016]数据交互 (树链剖分、线段树)
题目链接 (BZOJ) https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4732 (UOJ) http://uoj.ac/problem/268 题解 ...
- [UOJ#276][清华集训2016]汽水[分数规划+点分治]
题意 给定一棵 \(n\) 个点的树,给定 \(k\) ,求 \(|\frac{\sum w(路径长度)}{t(路径边数)}-k|\)的最小值. \(n\leq 5\times 10^5,k\leq ...
- UOJ 275. 【清华集训2016】组合数问题
UOJ 275. [清华集训2016]组合数问题 组合数 $C_n^m $表示的是从 \(n\) 个物品中选出 \(m\) 个物品的方案数.举个例子,从$ (1,2,3)(1,2,3)$ 三个物品中选 ...
- [UOJ#276]【清华集训2016】汽水
[UOJ#276][清华集训2016]汽水 试题描述 牛牛来到了一个盛产汽水的国度旅行. 这个国度的地图上有 \(n\) 个城市,这些城市之间用 \(n−1\) 条道路连接,任意两个城市之间,都存在一 ...
- UOJ #274. 【清华集训2016】温暖会指引我们前行 [lct]
#274. [清华集训2016]温暖会指引我们前行 题意比较巧妙 裸lct维护最大生成树 #include <iostream> #include <cstdio> #incl ...
随机推荐
- cmd实现cab文件的压缩与解压
压缩(makecab): 1.单文件压缩 makecab ip2.txt ip2.txt.cab 2.多文件压缩 makecab /f c:\list.txt /d expresstype=mszip ...
- Windows下建立FTP服务器站点
环境 操作系统版本:Win7旗舰版64位系统 1.安装FTP组件 打开或关闭Windows功能,打开过程可能会比较慢,大概3.4分钟: 安装FTP组件.勾选Internet信息服务下的FTP服务器.F ...
- Dubbo 支持哪些序列化协议?
面试题 dubbo 支持哪些通信协议?支持哪些序列化协议?说一下 Hessian 的数据结构?PB 知道吗?为什么 PB 的效率是最高的? 面试官心理分析 上一个问题,说说 dubbo 的基本工作原理 ...
- MySQL配置参数说明
MYSQL服务器my.cnf配置参数详解: 硬件:内存16G [client] port = 3306 socket = /data/mysql.sock [mysql] no-auto-rehash ...
- 探索js原型链和vue构造函数中的奥妙
这篇文章首先会讲到原型链以及原型链的一些概念,然后会通过分析vue的源码,来看一下vue的构造函数是如何被创建的,now we go! 一.什么是原型链? 简单回顾下构造函数,原型和实例的关系: ...
- C++ Sqlite3的基本使用
|SQLite3简介 SQLite3只是一个轻型的嵌入式数据库引擎,占用资源非常低,处理速度比Mysql还快,专门用于移动设备上进行适量的数据存取,它只是一个文件,不需要服务器进程. SQL语句是S ...
- Virtual Box虚拟机Ubuntu系统安装及基本配置
Linux简介 什么是 Linux? Linux:世界上不仅只有一个 Windows 操作系统,还有 Linux.mac.Unix 等操作系统.桌面操作系统下 Windows 是霸主,而 Linux ...
- SmartSql 快速使用指南
SmartSql 快速使用指南(https://github.com/Ahoo-Wang/SmartSql) ISmartSqlMapper 常用(部分)接口概述 函数 说明 Execute IDbC ...
- webpack-插件机制杂记
系列文章 Webpack系列-第一篇基础杂记 webpack系列-插件机制杂记 前言 webpack本身并不难,他所完成的各种复杂炫酷的功能都依赖于他的插件机制.或许我们在日常的开发需求中并不需要自己 ...
- python 文件和目录操作题库
1. 把一个目录下所有的文件删除,在所有的目录下新建一个a.txt的文件,并在文件下写入"python"关键字. 解题思路: 1.如果目录存在则切换进入目录 ...