「BZOJ1038」「洛谷P2600」「ZJOI2008」瞭望塔半平面交+贪心

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题目描述

致力于建设全国示范和谐小村庄的H村村长dadzhi，决定在村中建立一个瞭望塔，以此加强村中的治安。

我们将H村抽象为一维的轮廓。如下图所示:

我们可以用一条山的上方轮廓折线$(x_1,y_1),(x_2,y_2)…(x_n,y_n)$来描述H村的形状，这里$x_1 < x_2 < …< x_n$。瞭望塔可以建造在$[x_1,x_n]$间的任意位置，但必须满足从瞭望塔的顶端可以看到H村的任意位置。可见在不同的位置建造瞭望塔，所需要建造的高度是不同的。为了节省开支，dadzhi村长希望建造的塔高度尽可能小。

请你写一个程序，帮助dadzhi村长计算塔的最小高度。

输入

第一行包含一个整数$n$，表示轮廓折线的节点数目。接下来第一行$n$个整数, 为$x_1\sim x_n$. 第三行n个整数，为$y_1\sim y_n$。

输出

仅包含一个实数，为塔的最小高度，精确到小数点后三位。

样例

样例输入

6

1 2 4 5 6 7

1 2 2 4 2 1

样例输出

1.000

数据范围

对于$60\%$的数据，$N\leq60$。

对于$100\%$的数据，$N\leq300$，输入坐标绝对值不超过$10^6$，注意考虑实数误差带来的问题。

题解

半平面交好题（其实可以暴枚）。

首先，假设瞭望塔顶为点$P$，那么$P$必定在轮廓线上每条边往上的半平面的交集里面。

因此先做一遍半平面交，由于必定是无界的，我在左右和上侧各加了一个半平面（做完之后把不需要的边界去掉）。

这样我们就得到了一个下凸壳，如果瞭望塔建在$x_0$这个位置，那么必定是建到直线$x=x_0$与这个凸壳的交点的高度即可。然后考虑到高度是由上下共同决定的，经过显而易见的贪心，可以发现瞭望塔的横坐标要么是这个凸壳上的顶点，要么是下方轮廓线的端点，$O(n)$扫一遍即可。总复杂度$O(n\log n)$。

坑：答案可能很大，所以$ans$初始值得设得很大。

$Code:$

#include <cmath>

#include <vector>

#include <cstdio>

#include <cstring>

#include <iostream>

#include <algorithm>

using namespace std;

#define N 100005

#define eps 1e-8

int n, m, h, t, cnt;

bool More(double a, double b){return a > b + eps;}

bool Less(double a, double b){return a < b - eps;}

bool Emore(double a, double b){return a > b - eps;}

bool Eless(double a, double b){return a < b + eps;}

bool Equal(double a, double b){return fabs(a - b) < eps;}

struct Point

{

	double x, y;

	Point(){}

	Point(double a, double b){x = a, y = b;}

	Point operator + (Point b){return Point(x + b.x, y + b.y);}

	Point operator - (Point b){return Point(x - b.x, y - b.y);}

	Point operator * (double c){return Point(x * c, y * c);}

	Point operator / (double c){return Point(x / c, y / c);}

}A[N], B[N], p[N];

struct Line//直线、线段、射线s->t，向量为t-s

{

	Point s, t;

	Line(){};

	Line(Point a, Point b){s = a, t = b;}

}S[N], q[N];

double Cross(Point a, Point b){return a.x * b.y - a.y * b.x;}

double Length(Point a){return sqrt(a.x * a.x + a.y * a.y);}

bool Onright(Line s, Point p){return More(Cross(p - s.s, s.t - s.s), 0);}

Point Intersect(Line a, Line b)

{

	double s1 = Cross(a.t - a.s, b.s - a.s);

	double s2 = Cross(b.t - a.t, a.t - a.s);

	return b.s + (b.t - b.s) / (s1 + s2) * s1;

}

double Angle(Point p){return atan2(p.y, p.x);}

int cmp(Line s1, Line s2)//象限角度数越低的越靠前(-180,180]

{

	Point a = s1.t - s1.s;

	Point b = s2.t - s2.s;

	if (!Equal(Angle(a), Angle(b)))return Angle(a) < Angle(b);

	return Onright(s1, s2.s);

}

int cmp2(Point p1, Point p2){return p1.x < p2.x;}

int main()

{

	scanf("%d", &n);

	for (int i = 1; i <= n; i++)

		scanf("%lf", &A[i].x);

	for (int i = 1; i <= n; i++)

		scanf("%lf", &A[i].y);

	for (int i = 1; i < n; i++)

		S[++cnt] = Line(A[i], A[i + 1]);

	S[++cnt] = Line(Point(A[1].x, 1e+12), Point(A[1].x, A[1].y));

	S[++cnt] = Line(Point(A[n].x, 1e+12), Point(A[1].x, 1e+12));

	S[++cnt] = Line(Point(A[n].x, A[n].y), Point(A[n].x, 1e+12));

	sort(S + 1, S + cnt + 1, cmp);

	int w = 1;

	for (int i = 2; i <= cnt; i++)

		if (!Equal(Angle(S[i].t - S[i].s), Angle(S[i - 1].t - S[i - 1].s)))

			S[++w] = S[i];

	cnt = w;

	h = 1, t = 0;

	q[++t] = S[1];

	for (int i = 2; i <= cnt; i++)

	{

		while (h < t && Onright(S[i], p[t - 1]))t--;

		while (h < t && Onright(S[i], p[h]))h++;

		q[++t] = S[i];

		if (h < t)

			p[t - 1] = Intersect(q[t], q[t - 1]);

	}

	while (h < t && Onright(q[h], p[t - 1]))t--;

	if (h < t)p[t] = Intersect(q[t], q[h]);

	cnt = 0;

	for (int i = h; i <= t; i++)

		B[++cnt] = p[i];

	sort(B + 1, B + cnt + 1, cmp2);

	w = 1;

	for (int i = 2; i <= cnt; i++)

		if (Less(B[i].y, 1e+11))

			B[++w] = B[i];

	cnt = w;

	double ans = 1e+10;

	int w1 = 1, w2 = 2;

	A[0].x = A[1].x - 1;

	B[0].x = B[1].x - 1;

	while (w1 <= cnt || w2 <= n)

	{

		if (w2 > n || (w1 <= cnt && B[w1].x < A[w2].x))

		{

			Point s = A[w2 - 1] + (A[w2] - A[w2 - 1]) / (A[w2].x - A[w2 - 1].x) * (B[w1].x - A[w2 - 1].x);

			ans = min(ans, B[w1].y - s.y);

			w1++;

		}

		else

		{

			Point s = B[w1 - 1] + (B[w1] - B[w1 - 1]) / (B[w1].x - B[w1 - 1].x) * (A[w2].x - B[w1 - 1].x);

			ans = min(ans, s.y - A[w2].y);

			w2++;

		}

	}

	printf("%.3f\n", ans);

}