[luogu 1660]数位平方和
题目描述
定义S(n)表示n的各个数位的k次方的和。定义$H(n)=min{n,S(n),H(S(n))}$。
求$$\sum _{i=A} ^{B} {H(i)} \mod 10000007$$
输入输出格式
输入格式:
一行三个数K、A、B。
【数据规模】
对于20%的数据,满足1≤A、B≤50;
对于100%的数据,满足1≤A、B≤10^6,K≤6.
输出格式:
B 一个数∑H(i) mod 10000007
i=A
输入输出样例
2 1 5
14
题解:
很暴力的解法,把每一个数都看作一个点,那么我们可以从一个数的每一位来得到它的下一个数,并向下一个数连一条有向边。
这样我们就得到了一个有向有环图,那么题意就变成了从一个点开始,一直向下走,所经过的所有点的最小值(包括环)。
考虑tarjan缩点,统计一下每一个强连通分量(也就是环)上的最小值。
很显然环上是没有出边的,我们将所有边反向,从入度为0的分量开始拓扑,一路上不断更新路径上的最小值,那么这样就统计出来了每一个点一直向下走,所经过的所有点的最小值。
然后把题目要求的点加在一起输出就可以了。(我用的是前缀和)
另外不要怀疑这道题会因为点过多而超时,当k=6时,以1~100000分别为起点,所经过的数的最大值是3188...(反正是个七位数),还是可以承受的。
时空复杂度O(能过)
//Never forget why you start
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define mod (10000007)
using namespace std;
int n,t[];
bool vis[];
int suan(int x){
int ans=;
while(x){
ans+=t[x%];
x/=;
}
return ans;
}
int to[];
void dfs(int r){
if(vis[r])return;
vis[r]=;
int Next=suan(r);
to[r]=Next;
dfs(Next);
}
int dfn[],low[],sccno[],scc,dfscnt,mmin[];
int s[],top;
void tarjan(int r){
dfn[r]=low[r]=++dfscnt;
s[++top]=r;
int y=to[r];
if(!dfn[y]){
tarjan(y);
low[r]=min(low[r],low[y]);
}
else if(!sccno[y])low[r]=min(low[r],dfn[y]);
if(low[r]==dfn[r]){
scc++;
int x;
while(){
x=s[top--];
sccno[x]=scc;
mmin[scc]=min(x,mmin[scc]);
if(x==r)break;
}
}
}
struct node{
int next,to;
}edge[];
int size=;
void putin(int from,int to){
size++;
edge[size].to=to;
edge[size].next=dfn[from];
dfn[from]=size;
}
void bfs(){
queue<int>mem;
for(int i=;i<=scc;i++)if(!s[i])mem.push(i);
while(!mem.empty()){
int x=mem.front();mem.pop();
for(int i=dfn[x];i!=-;i=edge[i].next){
int y=edge[i].to;
mmin[y]=min(mmin[y],mmin[x]);
s[y]--;
if(!s[y])mem.push(y);
}
}
}
int main(){
int i,j;
scanf("%d",&n);
memset(mmin,/,sizeof(mmin));
for(i=;i<=;i++)t[i]=pow(i,n);
for(i=;i<=;i++){
dfs(i);
}
for(i=;i<=;i++)
if(!dfn[i])tarjan(i);
memset(dfn,-,sizeof(dfn));
memset(s,,sizeof(s));
for(i=;i<=;i++)
if(sccno[i]!=sccno[to[i]])putin(sccno[to[i]],sccno[i]),s[sccno[i]]++;
bfs();
low[]=;
for(i=;i<=;i++){
low[i]=mmin[sccno[i]];
(low[i]+=low[i-])%=mod;
}
int l,r;
scanf("%d%d",&l,&r);
printf("%d\n",(low[r]-low[l-]+mod)%mod);
return ;
}
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