LA 2038 Strategic game（最小点覆盖，树形dp，二分匹配）

题意即求一个最小顶点覆盖。

对于没有孤立点的图G=(V,E)，最大独立集+最小顶点覆盖= V。（往最大独立集加点）

问题可以变成求树上的最大独立集合。

每个结点的选择和其父节点选不选有关，

dp(u,1)表示父节点选，这时u不可选，

dp(u,0)表示父节点不选，这时u可选可不选。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn = ;
int meo[maxn][];
int vis[maxn][], clk;
int hd[maxn],nx[maxn<<],to[maxn<<],ec;

void add(int u,int v)
{
    to[ec] = v;
    nx[ec] = hd[u];
    hd[u] = ec++;
}

int dp(int u,int a = ,int f = -)//a表示父节点选不选
{
    if(vis[u][a] == clk) return meo[u][a];
    vis[u][a] = clk;
    int &re = meo[u][a];
    re = ;
    int pick = ;
    for(int i = hd[u]; ~i; i = nx[i]){
        int v = to[i];
        if(v == f) continue;
        if(!a){
            pick += dp(v,,u);
        }
        re += dp(v,,u);
    }
    if(!a) re = max(re,pick);
    return re;
}

//#define LOCAL
int main()
{
#ifdef LOCAL
    freopen("in.txt","r",stdin);
#endif
    int n;
    while(~scanf("%d",&n)){
        memset(hd,-,sizeof(hd)); ec = ;
        for(int i = ; i < n; i++){
            int u,sn; scanf("%d:(%d)",&u,&sn);
            while(sn--){
                int v;scanf("%d",&v);
                add(u,v); add(v,u);
            }
        }
        clk++;
        printf("%d\n",n-dp());
    }
    return ;
}

最小点覆盖还可以用二分匹配来做

关键代码，下面可以适合无向图，如果用有向图的算法一个匹配会算两次。

int link[maxn];
int vis[maxn], clk;

bool aug(int u)
{
    if(vis[u] == clk) return false;
    vis[u] = clk;
    for(int i = hd[u]; ~i; i = nx[i]){
        int v = to[i];
        if(!~link[v] || aug(link[v])){
            link[v] = u;
            link[u] = v;
            return true;
        }
    }
    return false;
}

int Hungary(int n)
{
    memset(link,-,sizeof(link));
    int ans = ;
    for(int i = ; i < n; i++){
        if(link[i]<){
            clk++;
            if(aug(i)) ans++;
        }
    }
    return ans;
}

也可以直接dp求最小点覆盖集合，

f[u][p]表示以u为根的树最小点覆盖，p表示选不选u。

当选u的时候，子结点可选可不选，

当不选u的时候，子结点都选。

（实际上存在在某些结点只选一个子节点的最优解的情况，但是这样做并不会丢解）

int f[maxn][],vis[maxn],clk;

void dfs(int u = ,int fa = -)
{
    vis[u] = clk;
    f[u][] = ; f[u][] = ;
    for(int i = hd[u]; ~i; i = nx[i]){
        int v = to[i];
        if(v == fa) continue;
        if(vis[v] != clk) dfs(v,u);
        f[u][] += min(f[v][],f[v][]);
        f[u][] += f[v][];
    }
}