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title: 「kuangbin带你飞」专题十八 后缀数组

author: "luowentaoaa"

catalog: true

tags:

- kuangbin

- 字符串

- 后缀数组

传送门

倍增法

struct DA{

    bool cmp(int *r,int a,int b,int l){

        return r[a]==r[b]&&r[a+l]==r[b+l];

    }

    int t1[maxn],t2[maxn],c[maxn];

    int rank[maxn],height[maxn],RMQ[maxn],mm[maxn];

    int best[20][maxn];

    int r[maxn];

    int sa[maxn];

    int str[maxn];

    void da(int n,int m){

        n++;

        int i,j,p,*x=t1,*y=t2;

        for(i=0;i<m;i++)c[i]=0;

        for(i=0;i<n;i++)c[x[i]=str[i]]++;

        for(i=1;i<m;i++)c[i]+=c[i-1];

        for(i=n-1;i>=0;i--)sa[--c[x[i]]]=i;

        for(j=1;j<=n;j<<=1){

            p=0;

            for(i=n-j;i<n;i++)y[p++]=i;

            for(i=0;i<n;i++)if(sa[i]>=j)y[p++]=sa[i]-j;

            for(i=0;i<m;i++)c[i]=0;

            for(i=0;i<n;i++)c[x[y[i]]]++;

            for(i=1;i<m;i++)c[i]+=c[i-1];

            for(i=n-1;i>=0;i--)sa[--c[x[y[i]]]]=y[i];

            swap(x,y);

            p=1;x[sa[0]]=0;

            for(i=1;i<n;i++)

                x[sa[i]]=cmp(y,sa[i-1],sa[i],j)?p-1:p++;

            if(p>=n)break;

            m=p;

        }

        int k=0;

        n--;

        for(i=0;i<=n;i++)rank[sa[i]]=i;

        for(i=0;i<n;i++){

            if(k)k--;

            j=sa[rank[i]-1];

            while(str[i+k]==str[j+k])k++;

            height[rank[i]]=k;

        }

    }

    void initRMQ(int n){

        for(int i=1;i<=n;i++)RMQ[i]=height[i];

        mm[0]=-1;

        for(int i=1;i<=n;i++)

            mm[i]=((i&(i-1))==0)?mm[i-1]+1:mm[i-1];

        for(int i=1;i<=n;i++)best[0][i]=i;

        for(int i=1;i<=mm[n];i++)

        for(int j=1;j+(1<<i)-1<=n;j++){

            int a=best[i-1][j];

            int b=best[i-1][j+(1<<(i-1))];

            if(RMQ[a]<RMQ[b])best[i][j]=a;

            else best[i][j]=b;

        }

    }

    int askRMQ(int a,int b){

        int t;

        t=mm[b-a+1];

        b-=(1<<t)-1;

        a=best[t][a];b=best[t][b];

        return RMQ[a]<RMQ[b]?a:b;

    }

    int lcp(int a,int b){

        a=rank[a];b=rank[b];

        if(a>b)swap(a,b);

        return height[askRMQ(a+1,b)];

    }

    void print(int n){

        cout<<"sa[] ";

        for(int i=0;i<=n;i++)cout<<sa[i]<<" ";cout<<endl;

        cout<<"rank[] ";

        for(int i=0;i<=n;i++)cout<<rank[i]<<" ";cout<<endl;

        cout<<"height[] ";

        for(int i=0;i<=n;i++)cout<<height[i]<<" ";cout<<endl;

    }

}AA,BB;

A.POJ1743 Musical Theme

题意

有N(1<=N<=20000)个音符的序列来表示一首乐曲，每个音符都是1..88范围内的整数，现在要找一个重复的子串，它需要满足如下条件：1.长度至少为5个音符。
2.在乐曲中重复出现（就是出现过至少两次）。(可能经过转调，“转调”的意思是主题序列中每个音符都被加上或减去了同一个整数值)
3.重复出现的同一主题不能有公共部分。

思路

对于第一二点:至少长度是五,我们可以二分0-n/2之间的长度来查找height(height[i]=排名为i和i-1的后缀子串的最长公共前缀长度缀)然后找到两个大于二分的值,然后判断起点距离是否大于二分的值(因为要求不重叠)


第三点 因为共同加上一个值,但是他们前后的差值还是一样的(例如1，2，3和5，6，7是一样的他们的差值是1)然后把原数组变成一个长度为N-1的数组去处理,因为处理后的数组比原数组少1所以答案也要-1;

//#include<bits/stdc++.h>

#include<algorithm>

#include<iostream>

using namespace std;

typedef long long ll;

const ll mod=998244353;

const int maxn=2e5;

const ll inf=0x3f3f3f3f3f3f;

#define bug cout<<"here:"<<endl;

int sa[maxn];

//sa[i]名次为i的后缀的起始位置;

//Rank[i]起始位置为i的名次 ->Rank[sa[i]]=i;

//height[i]名次为i和i-1的后缀的最长公共前缀长;

int t1[maxn],t2[maxn],c[maxn];

int Rank[maxn],height[maxn];

bool cmp(int *r,int a,int b,int l){

    return r[a]==r[b]&&r[a+l]==r[b+l];

}

int s[maxn];

void da(int str[],int n,int m){

    int i,j,p,*x=t1,*y=t2;

    for(i=0;i<m;i++)c[i]=0;

    for(i=0;i<n;i++)c[x[i]=str[i]]++;//***

    for(i=1;i<m;i++)c[i]+=c[i-1];

    for(i=n-1;i>=0;i--)sa[--c[x[i]]]=i;

    for(j=1;j<=n;j<<=1){

        p=0;

        for(i=n-j;i<n;i++)y[p++]=i;

        for(i=0;i<n;i++)if(sa[i]>=j)y[p++]=sa[i]-j;

        for(i=0;i<m;i++)c[i]=0;

        for(i=0;i<n;i++)c[x[y[i]]]++;

        for(i=1;i<m;i++)c[i]+=c[i-1];

        for(i=n-1;i>=0;i--)sa[--c[x[y[i]]]]=y[i];

        swap(x,y);

        p=1;x[sa[0]]=0;

        for(i=1;i<n;i++)

            x[sa[i]]=cmp(y,sa[i-1],sa[i],j)?p-1:p++;

        if(p>=n)break;

        m=p;

    }

    int k=0;

    n--;

    for(i=0;i<=n;i++)Rank[sa[i]]=i;

    for(i=0;i<n;i++){

        if(k)k--;

        j=sa[Rank[i]-1];

        while(s[i+k]==s[j+k])k++;

        height[Rank[i]]=k;

    }

}

bool isok(int n,int k){

    int ma=sa[1],mi=sa[1];

    for(int i=2;i<=n;i++){

        if(height[i]<k)ma=mi=sa[i];

        else{

            if(sa[i]<mi)mi=sa[i];

            if(sa[i]>ma)ma=sa[i];

            if(ma-mi>k)return true;

        }

    }return false;

}

int main()

{

    std::ios::sync_with_stdio(false);

    std::cin.tie(0);

    std::cout.tie(0);

    int n;

    while(cin>>n&&n){

        for(int i=0;i<n;i++)cin>>s[i];

        for(int i=n-1;i>0;i--)s[i]=s[i]-s[i-1]+90;//因为四十行要用s[i]的值做下表所以不能出现负数

        n--;//变化后的长度-1

        for(int i=0;i<n;i++)s[i]=s[i+1];

        s[n]=0;

        da(s,n+1,200);

        int ans=-1;

        int l=1,r=n/2;

        while(l<=r){

            int mid=(l+r)/2;

            if(isok(n,mid)){

                ans=mid;

                l=mid+1;

            }

            else r=mid-1;

        }

        if(ans<4)cout<<0<<endl;

        else cout<<ans+1<<endl;

    }

    return 0;

}

附加1. #1403 : 后缀数组一·重复旋律

题意

最长可重叠重复K次子串问题。

题解

二分答案

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;

#define pp pair<int,int>

#define rank rankk

const ll mod=998244353;

const int maxn=1e6+50;

const ll inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;

int gcd(int a,int b){while(b){int t=a%b;a=b;b=t;}return a;}

int lcm(int a,int b){return a*b/gcd(a,b);}

int t1[maxn],t2[maxn],c[maxn];

bool cmp(int *r,int a,int b,int l){

    return r[a]==r[b]&&r[a+l]==r[b+l];

}

void da(int str[],int sa[],int rank[],int height[],int n,int m){

    n++;

    int i,j,p,*x=t1,*y=t2;

    for(i=0;i<m;i++)c[i]=0;

    for(i=0;i<n;i++)c[x[i]=str[i]]++;

    for(i=1;i<m;i++)c[i]+=c[i-1];

    for(i=n-1;i>=0;i--)sa[--c[x[i]]]=i;

    for(j=1;j<=n;j<<=1){

        p=0;

        for(i=n-j;i<n;i++)y[p++]=i;

        for(i=0;i<n;i++)if(sa[i]>=j)y[p++]=sa[i]-j;

        for(i=0;i<m;i++)c[i]=0;

        for(i=0;i<n;i++)c[x[y[i]]]++;

        for(i=1;i<m;i++)c[i]+=c[i-1];

        for(i=n-1;i>=0;i--)sa[--c[x[y[i]]]]=y[i];

        swap(x,y);

        p=1;x[sa[0]]=0;

        for(i=1;i<n;i++)

            x[sa[i]]=cmp(y,sa[i-1],sa[i],j)?p-1:p++;

        if(p>=n)break;

        m=p;

    }

    int k=0;

    n--;

    for(i=0;i<=n;i++)rank[sa[i]]=i;

    for(i=0;i<n;i++){

        if(k)k--;

        j=sa[rank[i]-1];

        while(str[i+k]==str[j+k])k++;

        height[rank[i]]=k;

    }

}

int rank[maxn];//后缀i在sa[]中的排名

int height[maxn];//sa[i]与sa[i-1]的LCP(最长公共前缀)

int str[maxn];

int r[maxn];

int sa[maxn];//sa[i]表示排名弟i小的后缀的下标

int n,m;

int solve(int k){

    int tmp=1;

    for(int i=1;i<n;){

        int cnt=1;

        int j=i+1;

        while(height[j]>=k&&j<=n)j++,cnt++;

        tmp=max(cnt,tmp);

        i=j;

    }

    return tmp>=m;

}

int main()

{

    std::ios::sync_with_stdio(false);

    std::cin.tie(0);

    std::cout.tie(0);

    cin>>n>>m;

    for(int i=0;i<n;i++)cin>>str[i];

    str[n]=0;//多补一个0

    da(str,sa,rank,height,n,128);

    int l=0,r=n,ans=-1;

    while(l<=r){

        int mid=(l+r)>>1;

        if(solve(mid))ans=mid,l=mid+1;

        else r=mid-1;

    }

    cout<<ans<<endl;

    return 0;

}

附加2. #1407 : 后缀数组二·重复旋律2

题意

最长不可重叠重复子串问题

题解

只要判断长度是否大于二分的就行

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;

#define pp pair<int,int>

#define rank rankk

const ll mod=998244353;

const int maxn=1e6+50;

const ll inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;

int gcd(int a,int b){while(b){int t=a%b;a=b;b=t;}return a;}

int lcm(int a,int b){return a*b/gcd(a,b);}

int t1[maxn],t2[maxn],c[maxn];

bool cmp(int *r,int a,int b,int l){

    return r[a]==r[b]&&r[a+l]==r[b+l];

}

void da(int str[],int sa[],int rank[],int height[],int n,int m){

    n++;

    int i,j,p,*x=t1,*y=t2;

    for(i=0;i<m;i++)c[i]=0;

    for(i=0;i<n;i++)c[x[i]=str[i]]++;

    for(i=1;i<m;i++)c[i]+=c[i-1];

    for(i=n-1;i>=0;i--)sa[--c[x[i]]]=i;

    for(j=1;j<=n;j<<=1){

        p=0;

        for(i=n-j;i<n;i++)y[p++]=i;

        for(i=0;i<n;i++)if(sa[i]>=j)y[p++]=sa[i]-j;

        for(i=0;i<m;i++)c[i]=0;

        for(i=0;i<n;i++)c[x[y[i]]]++;

        for(i=1;i<m;i++)c[i]+=c[i-1];

        for(i=n-1;i>=0;i--)sa[--c[x[y[i]]]]=y[i];

        swap(x,y);

        p=1;x[sa[0]]=0;

        for(i=1;i<n;i++)

            x[sa[i]]=cmp(y,sa[i-1],sa[i],j)?p-1:p++;

        if(p>=n)break;

        m=p;

    }

    int k=0;

    n--;

    for(i=0;i<=n;i++)rank[sa[i]]=i;

    for(i=0;i<n;i++){

        if(k)k--;

        j=sa[rank[i]-1];

        while(str[i+k]==str[j+k])k++;

        height[rank[i]]=k;

    }

}

int rank[maxn];//后缀i在sa[]中的排名

int height[maxn];//sa[i]与sa[i-1]的LCP(最长公共前缀)

int str[maxn];

int r[maxn];

int sa[maxn];//sa[i]表示排名弟i小的后缀的下标

int n,m;

int solve(int k){

    int minsa,maxsa;

    for(int i=1;i<=n;i++)

    if(height[i]<k){

        minsa=sa[i];

        maxsa=sa[i];

    }

    else{

        minsa=min(minsa,sa[i]);

        maxsa=max(maxsa,sa[i]);

        if(maxsa-minsa>=k)return true;

    }

    return false;

}

int main()

{

    std::ios::sync_with_stdio(false);

    std::cin.tie(0);

    std::cout.tie(0);

    cin>>n;

    for(int i=0;i<n;i++)cin>>str[i];

    str[n]=0;//多补一个0

    da(str,sa,rank,height,n,1280);

    int l=0,r=n,ans=-1;

    while(l<=r){

        int mid=(l+r)>>1;

        if(solve(mid))ans=mid,l=mid+1;

        else r=mid-1;

    }

    cout<<ans<<endl;

    return 0;

}

附加3.#1415 : 后缀数组三·重复旋律3

题意

经典的最长公共子串问题//

如果同一段旋律在作品A和作品B中同时出现过，这段旋律就是A和B共同的部分，比如在abab 在 bababab 和 cabacababc 中都出现过。小Hi想知道两部作品的共同旋律最长是多少？

题解

把两个字符串接在一起就变成了求后缀的最长公共前缀的问题，但是由于这个前缀不能跨越两个字符串，所以我们在第一个字符串后面加上一个没有出现过的字符，再接第二个字符串，然后取所有非同一个串后缀的height的最大值...

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;

#define pp pair<int,int>

#define rank rankk

const ll mod=998244353;

const int maxn=1e6+50;

const ll inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;

int gcd(int a,int b){while(b){int t=a%b;a=b;b=t;}return a;}

int lcm(int a,int b){return a*b/gcd(a,b);}

int t1[maxn],t2[maxn],c[maxn];

bool cmp(int *r,int a,int b,int l){

    return r[a]==r[b]&&r[a+l]==r[b+l];

}

void da(char str[],int sa[],int rank[],int height[],int n,int m){

    n++;

    int i,j,p,*x=t1,*y=t2;

    for(i=0;i<m;i++)c[i]=0;

    for(i=0;i<n;i++)c[x[i]=str[i]]++;

    for(i=1;i<m;i++)c[i]+=c[i-1];

    for(i=n-1;i>=0;i--)sa[--c[x[i]]]=i;

    for(j=1;j<=n;j<<=1){

        p=0;

        for(i=n-j;i<n;i++)y[p++]=i;

        for(i=0;i<n;i++)if(sa[i]>=j)y[p++]=sa[i]-j;

        for(i=0;i<m;i++)c[i]=0;

        for(i=0;i<n;i++)c[x[y[i]]]++;

        for(i=1;i<m;i++)c[i]+=c[i-1];

        for(i=n-1;i>=0;i--)sa[--c[x[y[i]]]]=y[i];

        swap(x,y);

        p=1;x[sa[0]]=0;

        for(i=1;i<n;i++)

            x[sa[i]]=cmp(y,sa[i-1],sa[i],j)?p-1:p++;

        if(p>=n)break;

        m=p;

    }

    int k=0;

    n--;

    for(i=0;i<=n;i++)rank[sa[i]]=i;

    for(i=0;i<n;i++){

        if(k)k--;

        j=sa[rank[i]-1];

        while(str[i+k]==str[j+k])k++;

        height[rank[i]]=k;

    }

}

int rank[maxn];//后缀i在sa[]中的排名

int height[maxn];//sa[i]与sa[i-1]的LCP(最长公共前缀)

char str[maxn];

char str2[maxn];

int r[maxn];

int sa[maxn];//sa[i]表示排名弟i小的后缀的下标

int n,m;

int solve(int n,int len1){

    int ans=0;

    for(int i=1;i<=n;i++){

        if((sa[i-1]<=len1&&sa[i]>len1)||(sa[i-1]>len1&&sa[i]<=len1))

            ans=max(ans,height[i]);

    }

    return ans;

}

int main()

{

    std::ios::sync_with_stdio(false);

    std::cin.tie(0);

    std::cout.tie(0);

    cin>>str;

    int len1=strlen(str);

    str[len1]='#';

    cin>>str2;

    int len2=strlen(str2);

    for(int i=0;i<len2;i++){

        str[len1+1+i]=str2[i];

    }

    str[len1+1+len2]=0;

    n=len1+len2+1;

    da(str,sa,rank,height,n,128);

    cout<<solve(n,len1)<<endl;

    return 0;

}

附加4.#1419 : 后缀数组四·重复旋律4

题意

重复次数最多的连续字串

小Hi平时的一大兴趣爱好就是演奏钢琴。我们知道一个音乐旋律被表示为长度为 N 的数构成的数列。小Hi在练习过很多曲子以后发现很多作品中的旋律有重复的部分。

我们把一段旋律称为(k,l)-重复的，如果它满足由一个长度为l的字符串重复了k次组成。 如旋律abaabaabaaba是(4,3)重复的，因为它由aba重复4次组成。

小Hi想知道一部作品中k最大的(k,l)-重复旋律。

题解

求重复次数最多的连续字串

假如知道了这个连续子串的开始位置

并且知道了它的长度

那么，此时我们就通过lcp(i,i+len)来进行比较即可

但是，如果枚举长度和开始的位置的话

尽管lcp通过st表可以O(1)查询

但是这个枚举的复杂度是O(n2)的

很显然，需要更快

所以，枚举了长度lenlen之后

我们只需要考虑开始位置为lenlen倍数的地方

如果此时有一个重复串的开始位置不在lenlen的倍数上

很显然的

lcp就会多出一截

所以，我们可以倒推出这个位置

所以，这样枚举复杂度为O(nlogn)

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;

#define pp pair<int,int>

#define rank rankk

const ll mod=998244353;

const int maxn=1e6+50;

const ll inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;

int gcd(int a,int b){while(b){int t=a%b;a=b;b=t;}return a;}

int lcm(int a,int b){return a*b/gcd(a,b);}

int t1[maxn],t2[maxn],c[maxn];

bool cmp(int *r,int a,int b,int l){

    return r[a]==r[b]&&r[a+l]==r[b+l];

}

void da(char str[],int sa[],int rank[],int height[],int n,int m){

    n++;

    int i,j,p,*x=t1,*y=t2;

    for(i=0;i<m;i++)c[i]=0;

    for(i=0;i<n;i++)c[x[i]=str[i]]++;

    for(i=1;i<m;i++)c[i]+=c[i-1];

    for(i=n-1;i>=0;i--)sa[--c[x[i]]]=i;

    for(j=1;j<=n;j<<=1){

        p=0;

        for(i=n-j;i<n;i++)y[p++]=i;

        for(i=0;i<n;i++)if(sa[i]>=j)y[p++]=sa[i]-j;

        for(i=0;i<m;i++)c[i]=0;

        for(i=0;i<n;i++)c[x[y[i]]]++;

        for(i=1;i<m;i++)c[i]+=c[i-1];

        for(i=n-1;i>=0;i--)sa[--c[x[y[i]]]]=y[i];

        swap(x,y);

        p=1;x[sa[0]]=0;

        for(i=1;i<n;i++)

            x[sa[i]]=cmp(y,sa[i-1],sa[i],j)?p-1:p++;

        if(p>=n)break;

        m=p;

    }

    int k=0;

    n--;

    for(i=0;i<=n;i++)rank[sa[i]]=i;

    for(i=0;i<n;i++){

        if(k)k--;

        j=sa[rank[i]-1];

        while(str[i+k]==str[j+k])k++;

        height[rank[i]]=k;

    }

}

int rank[maxn];//后缀i在sa[]中的排名

int height[maxn];//sa[i]与sa[i-1]的LCP(最长公共前缀)

int RMQ[maxn];

int mm[maxn];

int best[20][maxn];

void initRMQ(int n){

    mm[0]=-1;

    for(int i=1;i<=n;i++)

        mm[i]=((i&(i-1))==0)?mm[i-1]+1:mm[i-1];

    for(int i=1;i<=n;i++)best[0][i]=i;

    for(int i=1;i<=mm[n];i++)

    for(int j=1;j+(1<<i)-1<=n;j++){

        int a=best[i-1][j];

        int b=best[i-1][j+(1<<(i-1))];

        if(RMQ[a]<RMQ[b])best[i][j]=a;

        else best[i][j]=b;

    }

}

int askRMQ(int a,int b){

    int t;

    t=mm[b-a+1];

    b-=(1<<t)-1;

    a=best[t][a];b=best[t][b];

    return RMQ[a]<RMQ[b]?a:b;

}

int lcp(int a,int b){//求以a,b开始的字串的最长公共前缀

    a=rank[a];b=rank[b];

    if(a>b)swap(a,b);

    return height[askRMQ(a+1,b)];

}

char str[maxn];

int r[maxn];

int sa[maxn];//sa[i]表示排名弟i小的后缀的下标

int n,m;

int main()

{

    std::ios::sync_with_stdio(false);

    std::cin.tie(0);

    std::cout.tie(0);

    cin>>str;

    n=strlen(str);

    str[n]=0;

    da(str,sa,rank,height,n,128);

    for(int i=1;i<=n;i++)RMQ[i]=height[i];

    initRMQ(n);

    int ans=1;

    for(int i=1;i<=n;i++){

        for(int j=0;j+i<n;j+=i){

            int len=lcp(j,j+i);

            int k=j-(i-len%i);

            int sum=len/i+1;

            if(k>=0&&lcp(k,k+i)>=i){

                sum++;

            }

            ans=max(ans,sum);

        }

    }

    cout<<ans<<endl;

    return 0;

}

B.UVA - 10829 Gap Substrings

题意

题目即求有多少子串满足ABA的形式，并且满足|A|>0，|B|=G。

题解

搞了我三天三夜的题目

首先可以用后缀数组求出任意两个点的后缀的lcp,然后相同长度减去g就是答案

但是这样复杂度是n^2

然后我们可以发现假设A的长度是L，第一个L在K位置,那么另一个L是K+L+G

然后我们发现如果L和另一个K+L+G判断相同了之后，那么L+1,L+2，...2L-1其实都不用再匹配了

所以我们就直接枚举长度L 然后在0，L，2L，3L进行匹配，注意不仅仅要向后面匹配前缀，还要向前面匹配后缀，后者我们可以把字符串倒置，然后求n-1-k，和n-1-(k+l+g)的lcp 这样两个lcp相加，那A的起点就可以在他们这个范围里面 所以答案就是lcp1+lcp2-L

注意lcp长度不能超过L,因为超过的话就会访问到另一个L的区域了

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;

#define pp pair<int,int>

const ll mod=998244353;

const int maxn=1e6+50;

const ll inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;

int gcd(int a,int b){while(b){int t=a%b;a=b;b=t;}return a;}

int lcm(int a,int b){return a*b/gcd(a,b);}

struct DA{

    bool cmp(int *r,int a,int b,int l){

        return r[a]==r[b]&&r[a+l]==r[b+l];

    }

    int t1[maxn],t2[maxn],c[maxn];

    int rank[maxn],height[maxn],RMQ[maxn],mm[maxn];

    int best[20][maxn];

    int r[maxn];

    int sa[maxn];

    int str[maxn];

    void da(int n,int m){

        n++;

        int i,j,p,*x=t1,*y=t2;

        for(i=0;i<m;i++)c[i]=0;

        for(i=0;i<n;i++)c[x[i]=str[i]]++;

        for(i=1;i<m;i++)c[i]+=c[i-1];

        for(i=n-1;i>=0;i--)sa[--c[x[i]]]=i;

        for(j=1;j<=n;j<<=1){

            p=0;

            for(i=n-j;i<n;i++)y[p++]=i;

            for(i=0;i<n;i++)if(sa[i]>=j)y[p++]=sa[i]-j;

            for(i=0;i<m;i++)c[i]=0;

            for(i=0;i<n;i++)c[x[y[i]]]++;

            for(i=1;i<m;i++)c[i]+=c[i-1];

            for(i=n-1;i>=0;i--)sa[--c[x[y[i]]]]=y[i];

            swap(x,y);

            p=1;x[sa[0]]=0;

            for(i=1;i<n;i++)

                x[sa[i]]=cmp(y,sa[i-1],sa[i],j)?p-1:p++;

            if(p>=n)break;

            m=p;

        }

        int k=0;

        n--;

        for(i=0;i<=n;i++)rank[sa[i]]=i;

        for(i=0;i<n;i++){

            if(k)k--;

            j=sa[rank[i]-1];

            while(str[i+k]==str[j+k])k++;

            height[rank[i]]=k;

        }

    }

    void initRMQ(int n){

        for(int i=1;i<=n;i++)RMQ[i]=height[i];

        mm[0]=-1;

        for(int i=1;i<=n;i++)

            mm[i]=((i&(i-1))==0)?mm[i-1]+1:mm[i-1];

        for(int i=1;i<=n;i++)best[0][i]=i;

        for(int i=1;i<=mm[n];i++)

        for(int j=1;j+(1<<i)-1<=n;j++){

            int a=best[i-1][j];

            int b=best[i-1][j+(1<<(i-1))];

            if(RMQ[a]<RMQ[b])best[i][j]=a;

            else best[i][j]=b;

        }

    }

    int askRMQ(int a,int b){

        int t;

        t=mm[b-a+1];

        b-=(1<<t)-1;

        a=best[t][a];b=best[t][b];

        return RMQ[a]<RMQ[b]?a:b;

    }

    int lcp(int a,int b){

        a=rank[a];b=rank[b];

        if(a>b)swap(a,b);

        return height[askRMQ(a+1,b)];

    }

    void print(int n){

        cout<<"sa[] ";

        for(int i=0;i<=n;i++)cout<<sa[i]<<" ";cout<<endl;

        cout<<"rank[] ";

        for(int i=0;i<=n;i++)cout<<rank[i]<<" ";cout<<endl;

        cout<<"height[] ";

        for(int i=0;i<=n;i++)cout<<height[i]<<" ";cout<<endl;

    }

}AA,BB;

char s[maxn];

int main()

{

    std::ios::sync_with_stdio(false);

    std::cin.tie(0);

    std::cout.tie(0);

    /*int len=strlen(s);

    for(int i=0;i<len;i++)AA.str[i]=s[i];

    AA.da(len,120);

    AA.print(len);*/

    int t;

    cin>>t;

    int CC=1;

    while(t--){

        int g;

        cin>>g>>s;

        int len=strlen(s);

        //cout<<"s=="<<s<<endl;

        //cout<<"len="<<len<<endl;

        for(int i=0;i<len;i++){

            AA.str[i]=s[i]-'a'+1;

            BB.str[i]=s[len-i-1]-'a'+1;

        }

        AA.da(len,30);BB.da(len,30);

        AA.initRMQ(len);BB.initRMQ(len);

        //AA.print(len);

       // BB.print(len);

        ll ans=0;

        for(int i=1;i<=len;i++){

            for(int j=0;j+i+g<len;j+=i){

                int l=j,r=j+i+g;

                int lll=min(i,AA.lcp(l,r));

                int rrr=min(i,BB.lcp(len-l-1,len-r-1));

                int len=(lll+rrr);

                if(len>=i)ans+=ll(1LL*len-i);

            }

        }

        cout<<"Case "<<CC++<<": ";

        cout<<ans<<endl;

    }

    return 0;

}

/*

2

1 bbaabaaaaa

5 abxxxxxab

*/

dc3

struct DA{

    #define F(x) ((x)/3+((x)%3==1?0:tb))

    #define G(x) ((x)<tb?(x)*3+1:((x)-tb)*3+2)

    int sa[maxn*20],rank[maxn*20],height[maxn*20],str[maxn*20];

    int wa[maxn*20],wb[maxn*20],wv[maxn*20],wss[maxn*20];

    int c0(int *r,int a,int b){

        return r[a]==r[b]&&r[a+1]==r[b+1]&&r[a+2]==r[b+2];

    }

    int c12(int k,int *r,int a,int b){

        if(k==2)

            return r[a]<r[b]||(r[a]==r[b]&&c12(1,r,a+1,b+1));

        else return r[a]<r[b]||(r[a]==r[b]&&wv[a+1]<wv[b+1]);

    }

    void sort(int *r,int *a,int *b,int n,int m){

        int i;

        for(i=0;i<n;i++)wv[i]=r[a[i]];

        for(i=0;i<m;i++)wss[i]=0;

        for(i=0;i<n;i++)wss[wv[i]]++;

        for(i=1;i<m;i++)wss[i]+=wss[i-1];

        for(i=n-1;i>=0;i--)

            b[--wss[wv[i]]]=a[i];

    }

    void dc3(int *r,int *sa,int n,int m){

        int i,j,*rn=r+n;

        int *san=sa+n,ta=0,tb=(n+1)/3,tbc=0,p;

        r[n]=r[n+1]=0;

        for(i=0;i<n;i++)if(i%3!=0)wa[tbc++]=i;

        sort(r+2,wa,wb,tbc,m);

        sort(r+1,wb,wa,tbc,m);

        sort(r,wa,wb,tbc,m);

        for(p=1,rn[F(wb[0])]=0,i=1;i<tbc;i++)

            rn[F(wb[i])]=c0(r,wb[i-1],wb[i])?p-1:p++;

        if(p<tbc)dc3(rn,san,tbc,p);

        else for(i=0;i<tbc;i++)san[rn[i]]=i;

        for(i=0;i<tbc;i++)if(san[i]<tb)wb[ta++]=san[i]*3;

        if(n%3==1)wb[ta++]=n-1;

        sort(r,wb,wa,ta,m);

        for(i=0;i<tbc;i++)wv[wb[i]=G(san[i])]=i;

        for(i=0,j=0,p=0;i<ta&&j<tbc;p++)

            sa[p]=c12(wb[j]%3,r,wa[i],wb[j])?wa[i++]:wb[j++];

        for(;i<ta;p++)sa[p]=wa[i++];

        for(;j<tbc;p++)sa[p]=wb[j++];

    }

    void da(int n,int m){

        for(int i=n;i<n*3;i++)str[i]=0;

        dc3(str,sa,n+1,m);

        int i,j,k=0;

        for(i=0;i<=n;i++)rank[sa[i]]=i;

        for(i=0;i<n;i++){

            if(k)k--;

            j=sa[rank[i]-1];

            while(str[i+k]==str[j+k])k++;

            height[rank[i]]=k;

        }

    }

    void print(int n){

        cout<<"sa[] ";

        for(int i=0;i<=n;i++)cout<<sa[i]<<" ";cout<<endl;

        cout<<"rank[] ";

        for(int i=0;i<=n;i++)cout<<rank[i]<<" ";cout<<endl;

        cout<<"height[] ";

        for(int i=0;i<=n;i++)cout<<height[i]<<" ";cout<<endl;

    }

}DA;

A.Mediocre String Problem （2018南京M,回文+LCP)

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;

#define pp pair<int,int>

const ll mod=998244353;

const int maxn=1e6+50;

const ll inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;

int gcd(int a,int b){while(b){int t=a%b;a=b;b=t;}return a;}

int lcm(int a,int b){return a*b/gcd(a,b);}

struct DA{

    #define F(x) ((x)/3+((x)%3==1?0:tb))

    #define G(x) ((x)<tb?(x)*3+1:((x)-tb)*3+2)

    int sa[maxn*20],rank[maxn*20],height[maxn*20],str[maxn*20];

    int wa[maxn*20],wb[maxn*20],wv[maxn*20],wss[maxn*20];

    int c0(int *r,int a,int b){

        return r[a]==r[b]&&r[a+1]==r[b+1]&&r[a+2]==r[b+2];

    }

    int c12(int k,int *r,int a,int b){

        if(k==2)

            return r[a]<r[b]||(r[a]==r[b]&&c12(1,r,a+1,b+1));

        else return r[a]<r[b]||(r[a]==r[b]&&wv[a+1]<wv[b+1]);

    }

    void sort(int *r,int *a,int *b,int n,int m){

        int i;

        for(i=0;i<n;i++)wv[i]=r[a[i]];

        for(i=0;i<m;i++)wss[i]=0;

        for(i=0;i<n;i++)wss[wv[i]]++;

        for(i=1;i<m;i++)wss[i]+=wss[i-1];

        for(i=n-1;i>=0;i--)

            b[--wss[wv[i]]]=a[i];

    }

    void dc3(int *r,int *sa,int n,int m){

        int i,j,*rn=r+n;

        int *san=sa+n,ta=0,tb=(n+1)/3,tbc=0,p;

        r[n]=r[n+1]=0;

        for(i=0;i<n;i++)if(i%3!=0)wa[tbc++]=i;

        sort(r+2,wa,wb,tbc,m);

        sort(r+1,wb,wa,tbc,m);

        sort(r,wa,wb,tbc,m);

        for(p=1,rn[F(wb[0])]=0,i=1;i<tbc;i++)

            rn[F(wb[i])]=c0(r,wb[i-1],wb[i])?p-1:p++;

        if(p<tbc)dc3(rn,san,tbc,p);

        else for(i=0;i<tbc;i++)san[rn[i]]=i;

        for(i=0;i<tbc;i++)if(san[i]<tb)wb[ta++]=san[i]*3;

        if(n%3==1)wb[ta++]=n-1;

        sort(r,wb,wa,ta,m);

        for(i=0;i<tbc;i++)wv[wb[i]=G(san[i])]=i;

        for(i=0,j=0,p=0;i<ta&&j<tbc;p++)

            sa[p]=c12(wb[j]%3,r,wa[i],wb[j])?wa[i++]:wb[j++];

        for(;i<ta;p++)sa[p]=wa[i++];

        for(;j<tbc;p++)sa[p]=wb[j++];

    }

    void da(int n,int m){

        for(int i=n;i<n*3;i++)str[i]=0;

        dc3(str,sa,n+1,m);

        int i,j,k=0;

        for(i=0;i<=n;i++)rank[sa[i]]=i;

        for(i=0;i<n;i++){

            if(k)k--;

            j=sa[rank[i]-1];

            while(str[i+k]==str[j+k])k++;

            height[rank[i]]=k;

        }

    }

    void print(int n){

        cout<<"sa[] ";

        for(int i=0;i<=n;i++)cout<<sa[i]<<" ";cout<<endl;

        cout<<"rank[] ";

        for(int i=0;i<=n;i++)cout<<rank[i]<<" ";cout<<endl;

        cout<<"height[] ";

        for(int i=0;i<=n;i++)cout<<height[i]<<" ";cout<<endl;

    }

}DA;

struct PalTree{

    int next[maxn][26],fail[maxn],cnt[maxn],num[maxn],len[maxn],S[maxn],last,n,p;

    int newnode(int l){

        for(int i=0;i<26;i++)next[p][i]=0;

        cnt[p]=num[p]=0;len[p]=l;return p++;

    }

    void init(){

        p=0;newnode(0);newnode(-1);last=0;n=0;S[n]=-1;fail[0]=1;

    }

    int get_fail(int x){

        while(S[n-len[x]-1]!=S[n])x=fail[x];return x;

    }

    int add(int c){

        c-='a';S[++n]=c;int cur=get_fail(last);

        if(!next[cur][c]){

            int now=newnode(len[cur]+2);

            fail[now]=next[get_fail(fail[cur])][c];

            next[cur][c]=now;num[now]=num[fail[now]]+1;

        }

        last=next[cur][c];cnt[last]++;return num[last];

    }

    void count(){for(int i=p-1;i>=0;i--)cnt[fail[i]]+=cnt[i];}

}PAM;

char s[maxn],t[maxn];

int num[maxn],cnt[maxn];

int main()

{

    std::ios::sync_with_stdio(false);

    std::cin.tie(0);

    std::cout.tie(0);

    cin>>s>>t;

    int lens=strlen(s),lent=strlen(t);

    int len=0;PAM.init();

    for(int i=0;i<lens;i++)DA.str[len++]=s[lens-i-1]-'a'+1,cnt[lens-i-1]=PAM.add(s[lens-i-1]);

    DA.str[len++]=30;

    for(int i=0;i<lent;i++)DA.str[len++]=t[i]-'a'+1;

    DA.str[len]=0;

    DA.da(len,200);

	int p=DA.rank[lens+1];

	//DA.print(len);

	int now=len+1;

	for(int i=p-1;i>=0;i--){

		now=min(now,DA.height[i+1]);

		if(DA.sa[i]>=0&&DA.sa[i]<lens){

			num[lens-1-DA.sa[i]]=now;

		}

	}

	now=len+1;

	for(int i=p+1;i<=len;i++){

		now=min(now,DA.height[i]);

		if(DA.sa[i]>=0&&DA.sa[i]<lens){

			num[lens-1-DA.sa[i]]=now;

		}

	}

	ll ans=0;

    for(int i=0;i<lens-1;i++){

        ans+=1LL*num[i]*cnt[i+1];

    }

    cout<<ans<<endl;

    return 0;

}

I.POJ - 3415 Common Substrings

单调栈优化

题意

求长度不小于K的公共子串的个数。

题解

对于一个LCP 贡献是len(lcp)-k+1

我们可以将height进行分组，大于等于k的在同一组，如果两个后缀的最长公共子串>=k，那么它们肯定在同一个组内。现在从头开始扫，每遇到A的后缀时，就统计一下它和它前面的B的后缀能组成多少长度>=k的公共子串，然后再反过来处理B的后缀即可，一共需要扫两遍。但是这样的时间复杂度是O(n^2)，是行不通的。

因为两个后缀的LCP是它们之间的最小height值，所以可以维护一个自底向上递增的单调栈，如果有height值小于了当前栈顶的height值，那么大于它的那些只能按照当前这个小的值来计算。这样分别处理两次，一次处理A的后缀，一次处理B的后缀。需要记录好栈里的和以及每个组内的后缀数。

注意longlong

#include<string>

#include<iostream>

#include<iosfwd>

#include<cmath>

#include<cstring>

#include<stdlib.h>

#include<stdio.h>

#include<cstring>

using namespace std;

typedef long long ll;

#define pp pair<int,int>

const ll mod=998244353;

const int maxn=2e5+50;

const ll inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;

int gcd(int a,int b){while(b){int t=a%b;a=b;b=t;}return a;}

int lcm(int a,int b){return a*b/gcd(a,b);}

struct DA{

    #define F(x) ((x)/3+((x)%3==1?0:tb))

    #define G(x) ((x)<tb?(x)*3+1:((x)-tb)*3+2)

    int sa[maxn*10],rank[maxn*10],height[maxn*10],str[maxn*10];

    int wa[maxn*10],wb[maxn*10],wv[maxn*10],wss[maxn*10];

    int RMQ[maxn],mm[maxn],best[20][maxn];;

    int c0(int *r,int a,int b){

        return r[a]==r[b]&&r[a+1]==r[b+1]&&r[a+2]==r[b+2];

    }

    int c12(int k,int *r,int a,int b){

        if(k==2)

            return r[a]<r[b]||(r[a]==r[b]&&c12(1,r,a+1,b+1));

        else return r[a]<r[b]||(r[a]==r[b]&&wv[a+1]<wv[b+1]);

    }

    void sort(int *r,int *a,int *b,int n,int m){

        int i;

        for(i=0;i<n;i++)wv[i]=r[a[i]];

        for(i=0;i<m;i++)wss[i]=0;

        for(i=0;i<n;i++)wss[wv[i]]++;

        for(i=1;i<m;i++)wss[i]+=wss[i-1];

        for(i=n-1;i>=0;i--)

            b[--wss[wv[i]]]=a[i];

    }

    void dc3(int *r,int *sa,int n,int m){

        int i,j,*rn=r+n;

        int *san=sa+n,ta=0,tb=(n+1)/3,tbc=0,p;

        r[n]=r[n+1]=0;

        for(i=0;i<n;i++)if(i%3!=0)wa[tbc++]=i;

        sort(r+2,wa,wb,tbc,m);

        sort(r+1,wb,wa,tbc,m);

        sort(r,wa,wb,tbc,m);

        for(p=1,rn[F(wb[0])]=0,i=1;i<tbc;i++)

            rn[F(wb[i])]=c0(r,wb[i-1],wb[i])?p-1:p++;

        if(p<tbc)dc3(rn,san,tbc,p);

        else for(i=0;i<tbc;i++)san[rn[i]]=i;

        for(i=0;i<tbc;i++)if(san[i]<tb)wb[ta++]=san[i]*3;

        if(n%3==1)wb[ta++]=n-1;

        sort(r,wb,wa,ta,m);

        for(i=0;i<tbc;i++)wv[wb[i]=G(san[i])]=i;

        for(i=0,j=0,p=0;i<ta&&j<tbc;p++)

            sa[p]=c12(wb[j]%3,r,wa[i],wb[j])?wa[i++]:wb[j++];

        for(;i<ta;p++)sa[p]=wa[i++];

        for(;j<tbc;p++)sa[p]=wb[j++];

    }

    void da(int n,int m){

        for(int i=n;i<n*3;i++)str[i]=0;

        dc3(str,sa,n+1,m);

        int i,j,k=0;

        for(i=0;i<=n;i++)rank[sa[i]]=i;

        for(i=0;i<n;i++){

            if(k)k--;

            j=sa[rank[i]-1];

            while(str[i+k]==str[j+k])k++;

            height[rank[i]]=k;

        }

    }

    void initRMQ(int n){

        for(int i=1;i<=n;i++)RMQ[i]=height[i];

        mm[0]=-1;

        for(int i=1;i<=n;i++)

            mm[i]=((i&(i-1))==0)?mm[i-1]+1:mm[i-1];

        for(int i=1;i<=n;i++)best[0][i]=i;

        for(int i=1;i<=mm[n];i++)

        for(int j=1;j+(1<<i)-1<=n;j++){

            int a=best[i-1][j];

            int b=best[i-1][j+(1<<(i-1))];

            if(RMQ[a]<RMQ[b])best[i][j]=a;

            else best[i][j]=b;

        }

    }

    int askRMQ(int a,int b){

        int t;

        t=mm[b-a+1];

        b-=(1<<t)-1;

        a=best[t][a];b=best[t][b];

        return RMQ[a]<RMQ[b]?a:b;

    }

    int lcp(int a,int b){

        a=rank[a];b=rank[b];

        if(a>b)swap(a,b);

        return height[askRMQ(a+1,b)];

    }

    void print(int n){

        cout<<"sa[] ";

        for(int i=0;i<=n;i++)cout<<sa[i]<<" ";cout<<endl;

        cout<<"rank[] ";

        for(int i=0;i<=n;i++)cout<<rank[i]<<" ";cout<<endl;

        cout<<"height[] ";

        for(int i=0;i<=n;i++)cout<<height[i]<<" ";cout<<endl;

    }

}DA;

char str[maxn],str1[maxn];

int s[maxn][2];

int main()

{

    std::ios::sync_with_stdio(false);

    std::cin.tie(0);

    std::cout.tie(0);

    int k;

    while(cin>>k&&k){

        cin>>str>>str1;

        int lena=strlen(str);

        int lenb=strlen(str1);

        int n=0;

        for(int i=0;i<lena;i++)DA.str[n++]=str[i];

        DA.str[n++]=1;

        for(int i=0;i<lenb;i++)DA.str[n++]=str1[i];

        DA.da(n,300);

        ll tot=0,top=0;

        ll sum=0;

        for(int i=1;i<=n;i++){

            if(DA.height[i]<k)top=0,tot=0;

            else{

                ll cnt=0;

                if(DA.sa[i-1]<lena){

                    cnt++;tot+=(ll)DA.height[i]-k+1;

                }

                while(top&&DA.height[i]<=s[top-1][0]){

                    top--;

                    tot+=(ll)s[top][1]*(DA.height[i]-s[top][0]);

                    cnt+=(ll)s[top][1];

                }

                s[top][0]=DA.height[i];s[top++][1]=cnt;

                if(DA.sa[i]>lena)sum+=tot;

            }

        }

        tot=top=0;

        for(int i=1;i<=n;i++){

            if(DA.height[i]<k)top=0,tot=0;

            else{

                int cnt=0;

                if(DA.sa[i-1]>lena){

                    cnt++;tot+=(ll)DA.height[i]-k+1;

                }

                while(top&&DA.height[i]<=s[top-1][0]){

                    top--;

                    tot+=(ll)s[top][1]*(DA.height[i]-s[top][0]);

                    cnt+=(ll)s[top][1];

                }

                s[top][0]=DA.height[i];s[top++][1]=cnt;

                if(DA.sa[i]<lena)sum+=tot;

            }

        }

        cout<<sum<<endl;

    }

    return 0;

}

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