我完全不记得上高中的时候学习过双曲函数。。。额，暴露了。。。

原文地址：https://zhuanlan.zhihu.com/p/20042215

可能是最好的讲解双曲函数的文章

零、写在前面

（近期好几个知友询问我能否转载，我在这说一下：随意，无论你是不是商业的。但是任何转载都请私信我转载到了哪里，以及转载时告诉读者从哪里转载的）

对之前在双曲函数的来历是什么，与三角函数有什么关系？ - 数学问题下的回答不太满意，故在此重新撰文。尽我所能全面具体详细地介绍双曲函数相关的方方面面，希望它能成为最好的讲解双曲函数的文章。

除了第七部分，高中生都应该可以看懂，因此我不希望大家回复「不明觉厉」，而是看懂它并回复「受益匪浅」。

我希望想了解双曲函数的知友看了我的文章都能有所收获。

一、发展历史

双曲函数的起源是悬链线，首先提出悬链线形状问题的人是达芬奇。他绘制《抱银貂的女人》时曾仔细思索女人脖子上的黑色项链的形状，遗憾的是他没有得到答案就去世了。

时隔170年之久，著名的雅各布·伯努利在一篇论文中又提出了这个问题，并且试图去证明这是一条抛物线。事实上，在他之前的伽利略和吉拉尔都猜测链条的曲线是抛物线。

一年之后，雅各布的证明毫无进展（废话，证明错的东西怎么会有进展）。而他的弟弟约翰·伯努利却解出了正确答案，同一时期的莱布尼茨也正确的给出了悬链线的方程。他们的方法都是利用微积分，根据物理规律给出悬链线的二次微分方程然后再求解。

18世纪，约翰·兰伯特开始研究这个函数，首次将双曲函数引入三角学；19世纪中后期，奥古斯都·德·摩根将圆三角学扩展到了双曲线，威廉·克利福德则使用双曲角参数化单位双曲线。至此，双曲函数在数学上已经占有了举足轻重的地位。

19世纪有一门学科开始了全面发展——复变函数。伴随着欧拉公式的诞生，双曲函数与三角函数这两类看起来截然不同的函数获得了前所未有的统一。

二、函数定义

在讲双曲函数的定义之前，我们先看一看三角函数的定义。如图所示：

在实域内，三角函数的值是通过单位圆和角终边上三角函数线的长度定义的。当然这个「长度」是有正负的。

同理，双曲函数的值也是通过双曲线和角终边上的双曲函数线的长度定义的。如图：

具体的定义为

$\cosh x = \frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$ ，

$\sinh x = \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$ ，

$\tanh x = \frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}$ 。

三、函数性质

和对应的三角函数性质十分类似，但又有一定的区别。

四、恒等式

双曲函数恒等式一定要结合着三角函数恒等式一起看，真的是太像了：

五、欧拉公式

欧拉公式是复变函数里几乎最重要的一个公式，它揭示了三角函数和指数函数之间的内在联系，从形式上也十分简洁优美：

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

用 $-x$ 替换掉 $x$ ，得到

$e^{-ix}=\cos x-i\sin x$

这样我们可以解出正弦和余弦函数与指数函数的关系式：

$\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$

$\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$

再把双曲函数拉过来看看

$\cosh x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$ $\sinh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$

是不是非常接近了呢？很容易看出它们之间存在这样的关系：

$\cos x=\cosh(ix),\\ \sin x=-i\sinh(ix)$

六、复域统一

先研究一下三角函数和双曲函数的级数展开。

$\cos x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}$ $\sin x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}$

$\cosh x = \sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n}}{(2n)!}$ $\sinh x = \sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

双曲函数和三角函数的区别仅仅在于是否有 $-1$ 的幂这一项，双曲函数就是将三角函数改为非交错级数。正是由于其无比相似的级数展开，才使得它们具有十分相似的性质。

我们说了这么多，两类函数似乎各种相似却还是不一样。那么三角函数和双曲函数的关系到底是什么呢？

在复域上，它们的形状其实是一样的！

不信？我们画一画图像。

直观地看，同一行的两个函数除了角度不同之外形状是一样的。

而其实这个关系前边已经说明过了：

$\cos x=\cosh(ix),\\ \sin x=-i\sinh(ix)$

这两个式子说明对应的两个函数仅通过旋转（对于复变函数，乘 $i$ 就相当于逆时针旋转90°）即可重合。

对了，大家都知道三角函数的周期是 $2\pi$ ，那么大家猜猜双曲函数的周期是多少？没错，是 $2\pi i$ ！

七、映射关系（需具备复变函数基础）

正弦与余弦映射均由复变函数里的基本映射复合而成。如 $\omega=\cos z$ 是由旋转 $\frac{\pi}{2}$ 的映射、指数函数映射以及如可夫斯基映射复合而成：

$1)\omega_{1}=iz;\quad2)\omega_{2}=e^{\omega_{1}}\quad;3)\omega=\frac{1}{2}(\omega_{2}+\frac{1}{\omega_{2}}).$

由公式

$\sin z=\frac{e^{i(z-\frac{\pi}{2})}+e^{-i(z-\frac{\pi}{2})}}{2}$

同样可知 $\omega=\sin z$ 的复合过程。

由上述知，宽度为 $\pi$ 的铅直带状区域是 $z->\sin z,z->\cos z$ 的单叶区域。

我们来看看余弦函数在带状域 $[-\pi<Re(z)<0]$ 的映射情况：

$\omega = u+vi=\cos z=\cos (x+iy)=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y$

求直线 $x=x_{0}$ 的像，有

$\begin{cases}u=\cos x_{0}\cosh y\\ v=-\sin x_{0}\sinh y \end{cases}$

由此得

$\frac{u^{2}}{\cos ^{2}x_{0}}-\frac{v^2}{\sin^{2}x_{0}}=1$

这是一个直线到双曲线的映射，当 $x_{0}$ 为正数和负数时分别为其一个分支。而直线 $x=0$ 被映射为正实轴从1到 $+\infty$ 的割痕，直线 $x=-\pi$ 被映射为沿实轴 $-1$ 到 $-\infty$ 的割痕。带状域的像为整个 $\omega$ 平面，除去实轴上从-1穿过无穷远到1的线段。

八、应用范围

1.悬链线

悬链线的方程是双曲余弦函数，这个在文章开头已经介绍过。而悬索桥、双曲拱桥、架空电缆等都用到了悬链线的原理。在工程上，定义 $a$ 为悬链线系数，而把悬链的方程记为

$y=a(\cosh \frac{x}{a} - 1)$

给应用带来很大的方便，如图：

2.平行直导线单位长度电容

真空中无限长圆柱形直导线平行放置，相距为 $d$ ，半径分别为 $R_{1},R_{2}$ ,电荷线密度为 $\pm \lambda$ ,则其单位长电容值为

$C=\frac{Q}{U}=\frac{2\pi \varepsilon_{0} }{\mathrm{arcosh} (\frac{d^{2}-R_{1}^{2}-R_{2}^{2}}{2R_{1}R_{2}})}$

虽然是反双曲函数，但我觉得也算双曲函数的应用。这个公式在常见的手册上都是可以看到的。

3.换元积分

形如 $\sqrt{x^{2}\pm a^{2}}$ 的被积函数，除了三角换元外，还可以用 $x=\sinh t$ 、 $x=\cosh t$ 的双曲代换，如

$\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^{2}+1}}=\int \frac{\cosh t \mathrm{d}t}{\cosh t}(x=\sinh t)=\mathrm{arsinh}(x)+C$

4.边值问题的解

直角坐标系中的拉普拉斯方程为

$\frac{\partial ^{2}\varphi }{\partial x^2}+\frac{\partial ^{2}\varphi }{\partial y^2}+ \frac{\partial ^{2}\varphi }{\partial z^2}=0$

设 $\varphi$ 可以表示为3个函数的积

$\varphi (x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)$

带入上式得

$\frac{X''}{X}+\frac{Y''}{Y}+\frac{Z''}{Z}=0$

由于这三项分别是 $x,y,z$ 的函数，因此方程恒成立就要求这三项均为常数。即

$\frac{X''}{X}=\alpha^{2}$

$\frac{Y''}{Y}=\beta^{2}$

$\frac{Z''}{Z}=\gamma^{2}$

当 $\alpha^{2}=0$ 时， $X(x)=a_{0}x+b_{0}$

当 $\alpha^{2}<0$ 时， $X(x)=a_{1}\sin k_{x}x+a_{2}\cos k_{x}x$

而当 $\alpha^{2}>0$ 时，其解即为双曲函数： $X(x)=c_{1}\sinh k_{x}x+c_{2}\cosh k_{x}x$

九、反双曲函数简介

反双曲函数是双曲函数的反函数，其推导很简单：令 $e^{y}=u$ ,解关于 $u$ 的一元二次方程，再取自然对数即得。

$\begin{align} \operatorname{arsinh}\, z &= \ln(z + \sqrt{z^2 + 1} \,) \\[2.5ex] \operatorname{arcosh}\, z &= \ln(z + \sqrt{z+1} \sqrt{z-1} \,) \\[1.5ex] \operatorname{artanh}\, z &= \tfrac12\ln\left({1+z}\right) - \tfrac12\ln\left({1-z}\right) \\ \operatorname{arcoth}\, z &= \tfrac12\ln\left({1+\frac{1}{z} }\right) - \tfrac12\ln\left({1-\frac{1}{z}}\right) \\ \operatorname{arcsch}\, z &= \ln\left( \frac{1}{z} + \sqrt{ \frac{1}{z^2} +1 } \,\right) \\ \operatorname{arsech}\, z &= \ln\left( \frac{1}{z} + \sqrt{ \frac{1}{z} + 1 } \, \sqrt{ \frac{1}{z} -1 } \,\right) \end{align}$

细心的读者会注意到反双曲函数用的符号为ar,而反三角函数用的符号为arc，为什么呢？

因为反三角函数也可以用弧长定义： $\arcsin x$ 就是「正弦值为x的角的弧长」。而反双曲函数则是用面积定义，表示对应双曲扇形面积的二倍，用arsh、arch等显示与其他函数的区别。

arc在英文中有「弧长」的意思，而ar表示area，有「面积」的意思。

十、参考文献

[1]Inverse trigonometric functions

[2]Inverse hyperbolic function

[3]Hyperbolic function

[4](俄)博亚尔丘克，复变函数[M]，北京，清华大学出版社，2008.5.

[5]同济大学数学系，高等数学[M]，北京，高等教育出版社，2007.10.

[6]张清，两无限长平行直导线间电容的精确解[J]，安徽，安徽工业大学学报，2003.1.

[7]徐裕生，反双曲函数符号的含义[J]，陕西，高等数学研究，1996.3.

编辑于 2018-11-05

[math] 什么是双曲函数（转发）的更多相关文章

Python标准库12 数学与随机数 (math包，random包)
作者:Vamei 出处:http://www.cnblogs.com/vamei 欢迎转载,也请保留这段声明.谢谢! 我们已经在Python运算中看到Python最基本的数学运算功能.此外,math包 ...
Python学习笔记17：标准库之数学相关（math包，random包）
前面几节看得真心累.如今先来点简单easy理解的内容. 一 math包 math包主要处理数学相关的运算. 常数 math.e # 自然常数e math.pi # 圆周率pi 运算函数 math ...
python_lesson1 数学与随机数 (math包，random包)
math包 math包主要处理数学相关的运算.math包定义了两个常数: math.e # 自然常数e math.pi # 圆周率pi 此外,math包还有各种运算函数 (下面函数的功能可以 ...
Servlet&jsp基础：第二部分
声明:原创作品,转载时请注明文章来自SAP师太技术博客( 博/客/园www.cnblogs.com):www.cnblogs.com/jiangzhengjun,并以超链接形式标明文章原始出处,否则将 ...
Struts2知识整理
准备找工作了.好忐忑!!! 整理整理知识,好好准备. 其实现在Struts2好像不是特别流行,不过还是有用武之地的. struts2简介 struts2是基于mvc开发模型的框架,属于表现层框架核心 ...
python标准库 - 数学库和随机数库
作者:Vamei 出处:http://www.cnblogs.com/vamei 欢迎转载,也请保留这段声明.谢谢! 我们已经在Python运算中看到Python最基本的数学运算功能.此外,math包 ...
python快速教程-vamei
2016年10月26日 12:00:53 今天开始着手python的学习,希望能高效快速的学完! Python基础(上)... 7 实验简介... 7 一.实验说明... 8 1. 环境登录... 8 ...
ES6学习笔记（四）数值的扩展
1.二进制和八进制表示法 ES6 提供了二进制和八进制数值的新的写法,分别用前缀0b(或0B)和0o(或0O)表示. 0b111110111 === 503 // true 0o767 === 503 ...
Java之Math类使用小结（转发）
Java的Math类封装了很多与数学有关的属性和方法,大致如下: public class Main { public static void main(String[] args) { // TOD ...

随机推荐

C#学习笔记-DataTable导出到EXCEL（一）
public void DataTabletoExcel(DataTable dt, string path) { StreamWriter sw = new StreamWriter(path, f ...
O2O、B2B、C2C（通俗讲解）
你在地摊买东西,C2C你去超市买东西,B2C超市找经销商进货,B2B超市出租柜台给经销商卖东西,B2B2C你在网上下载个优惠券去KFC消费,O2O 一:O2O 1.概念: O2O即Online To ...
C++设计模式——组合模式
问题描述上图,是一个公司的组织结构图,总部下面有多个子公司,同时总部也有各个部门,子公司下面有多个部门.如果对这样的公司开发一个OA系统,作为程序员的你,如何设计这个OA系统呢?先不说如何设计实现, ...
Mysql --数据库概述1
什么是数据(Data)? 描述事物的符号记录称为数据,描述事物的符号既可以是数字,也可以是文字.图片,图像.声音.语言等,数据由多种表现形式,它们都可以经过数字化后存入计算机在计算机中描述一个事物, ...
Atcoder Grand Contest 032
打的第一场Atcoder,已经知道会被虐得很惨,但没有想到竟然只做出一题-- 思维急需提升. A - Limited Insertion 这题还是很签到的. 感觉正着做不好做,我们反着来,把加数变为删 ...
【python】多进程共享变量Manager
Manager的复杂结构赋值问题 Manager的字典类型: 如果value是简单类型,比如int,可以直接赋值给共享变量,并可以后续直接修改如果value是复杂类型 ,比如list,dict,则必 ...
Nginx TLS SNI 不同域名多443转发
依赖 yum -y install pcre-devel openssl openssl-devel library 编译: mkdir /data/nginx/ -p ./configure --p ...
.net core2.x - 关于工作单元(UnitOfWork) 模式
概要:在搭建框架,顺手说下写下,关于unitofwork,可能你理解了,可能你还不理解,可能与不可能不是重点,重点是感兴趣就看看吧. 1.工作单元(unitofowork)是什么(后面简写uow)? ...
pandas合并数据集-【老鱼学pandas】
有两个数据集,我们想把他们的结果根据相同的列名或索引号之类的进行合并,有点类似SQL中的从两个表中选择出不同的记录并进行合并返回. 合并首先准备数据: import pandas as pd imp ...
python输入
(程序是如何输入输出的) 先了解一个概念,什么是函数? 简单来说,函数就是封装了一些功能,到时候只需要写一个函数名字,就可以使用这些功能 input函数,它是输入函数,它可以将用户输入的内容当做“字符 ...

[math] 什么是双曲函数（转发）