[NOIP2017普及组]棋盘

题目

题目描述

有一个m × m的棋盘，棋盘上每一个格子可能是红色、黄色或没有任何颜色的。你现在要从棋盘的最左上角走到棋盘的最右下角。

任何一个时刻，你所站在的位置必须是有颜色的（不能是无色的），你只能向上、下、左、右四个方向前进。当你从一个格子走向另一个格子时，如果两个格子的颜色相同，那你不需要花费金币；如果不同，则你需要花费1 个金币。

另外，你可以花费2 个金币施展魔法让下一个无色格子暂时变为你指定的颜色。但这个魔法不能连续使用，而且这个魔法的持续时间很短，也就是说，如果你使用了这个魔法，走到了这个暂时有颜色的格子上，你就不能继续使用魔法；只有当你离开这个位置，走到一个本来就有颜色的格子上的时候，你才能继续使用这个魔法，而当你离开了这个位置（施展魔法使得变为有颜色的格子）时，这个格子恢复为无色。

现在你要从棋盘的最左上角，走到棋盘的最右下角，求花费的最少金币是多少？

输入

第一行包含两个正整数m，n，以一个空格分开，分别代表棋盘的大小，棋盘上

有颜色的格子的数量。

接下来的 n 行，每行三个正整数x，y，c，分别表示坐标为（x，y）的格子有颜色c。

其中c=1 代表黄色，c=0 代表红色。相邻两个数之间用一个空格隔开。棋盘左上角的坐标

为（1, 1），右下角的坐标为（m, m）。

棋盘上其余的格子都是无色。保证棋盘的左上角，也就是（1，1）一定是有颜色的。

输出

输出一行，一个整数，表示花费的金币的最小值，如果无法到达，输出-1。

样例输入

5 7

1 1 0

1 2 0

2 2 1

3 3 1

3 4 0

4 4 1

5 5 0

样例输出

8

输入输出样例 1 说明

从（ 1， 1）开始，走到（ 1， 2）不花费金币

从（ 1， 2）向下走到（ 2， 2）花费 1 枚金币

从（ 2， 2）施展魔法，将（ 2， 3）变为黄色，花费 2 枚金币

从（ 2， 2）走到（ 2， 3）不花费金币

从（ 2， 3）走到（ 3， 3）不花费金币

从（ 3， 3）走到（ 3， 4）花费 1 枚金币

从（ 3， 4）走到（ 4， 4）花费 1 枚金币

从（ 4， 4）施展魔法，将（ 4， 5）变为黄色，花费 2 枚金币，

从（ 4， 4）走到（ 4， 5）不花费金币

从（ 4， 5）走到（ 5， 5）花费 1 枚金币

共花费 8 枚金币。

输入输出样例 2 说明

从（ 1， 1）走到（ 1， 2），不花费金币

从（ 1， 2）走到（ 2， 2），花费 1 金币

施展魔法将（ 2， 3）变为黄色，并从（ 2， 2）走到（ 2， 3）花费 2 金币

从（ 2， 3）走到（ 3， 3）不花费金币

从（ 3， 3）只能施展魔法到达（ 3， 2），（ 2， 3），（ 3， 4），（ 4， 3）

而从以上四点均无法到达（ 5， 5），故无法到达终点，输出－1

数据规模与约定

对于 30%的数据， 1 ≤ m ≤ 5， 1 ≤ n ≤ 10。

对于 60%的数据， 1 ≤ m ≤ 20， 1 ≤ n ≤ 200。

对于 100%的数据， 1 ≤ m ≤ 100， 1 ≤ n ≤ 1,000。

题解

个人感觉这道题放在T3还是比较合理的(然而T3与今年特水的T1,T2相比还是落差太大了233…)。这道题实际上并不难，然而很多人都把它想复杂了(我这种蒟蒻都能在考场上想10分钟想出来的题233)。

首先做题的时候要注意数据范围,m仅仅只有1~100很显然可能是3重循环或者记忆化搜索，再结合题目，可以得出本题大概是最短路，然而一群dalao选择了使用SPFA….实际上这题只需要DFS/BFS+剪枝(即为A*)就可以了。相信大家都会打DFS/BFS的代码在这里就不介绍解法了。

接下来就是剪枝了….我们可以这样想，当一个棋子走到(x,y)这个点的时候，如果比之前走到(x,y)这个点所产生的钱数更大，我们是可以将这个节点直接扔掉的。这点是可以证明的。另外我们也要额外考虑施展魔法变色的时所变空白格子的颜色——这里可以用贪心的思想，很容易证明不管在什么情况下，我们总需要保持变为的格子与上一个格子颜色相同。

至此本问题已经基本上解决了，只需要打个暴力再优化一下就可以了…

实现

//dfs
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<queue>
#include<climits>
using namespace std;
int n,m,f[105][105];
int map[105][105];
int sx[4]={-1,0,1,0},sy[4]={0,-1,0,1};
void dfs(int x,int y,int money,int color,bool mai)
{
    if(money>=f[x][y])return ;
    f[x][y]=money;
    for(int i=0;i<=3;i++)
    {
        if(map[x+sx[i]][y+sy[i]]==0)
        {if(!mai)dfs(x+sx[i],y+sy[i],money+2,color,1);continue;}
        else
        {
        if(map[x+sx[i]][y+sy[i]]==color)dfs(x+sx[i],y+sy[i],money,map[x+sx[i]][y+sy[i]],0);
        if(map[x+sx[i]][y+sy[i]]!=color)dfs(x+sx[i],y+sy[i],money+1,map[x+sx[i]][y+sy[i]],0);
    }
    }
}
int main()
{
    //freopen("chess.in","r",stdin);
    //freopen("chess.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            f[i][j]=INT_MAX;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x,y,color;
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&color);
        map[x][y]=color+1;
    }
    dfs(1,1,0,map[1][1],0);
    if(f[n][n]==INT_MAX){printf("-1\n");return 0;}
    else printf("%d\n",f[n][n]);
    return 0;
}

//转自TLY的BFS代码
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
using namespace std;
const int MAXN = 100;
const int dir[4][2]={{0,1},{1,0},{0,-1},{-1,0}};
int a[MAXN+5][MAXN+5];
int MIN[MAXN+5][MAXN+5][2];
struct NODE{
    int x,y,t,c;
}p;
bool operator<(NODE a,NODE b)
{
    return a.t>b.t;
}
priority_queue<NODE>que;
int main()
{
    //freopen("chess.in","r",stdin);
    //freopen("chess.out","w",stdout);
    memset(a,-1,sizeof(a));
    memset(MIN,63,sizeof(MIN));
    int m,n;
    scanf("%d %d",&m,&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int x,y,c;
        scanf("%d %d %d",&x,&y,&c);
        a[x][y] = c;
    }
    p.x = 1;p.y = 1;
    p.t = 0;p.c = a[1][1];
    MIN[1][1][a[1][1]] = 0;
    que.push(p);
    do
    {
        p = que.top();que.pop();
        if( p.x == m && p.y == m )
        {
            printf("%d\n",p.t);
            return 0;
        }
        if( p.t < MIN[p.x][p.y][p.c] ) continue;
        for(int i=0;i<4;i++)
        {
            NODE q;
            q.x = p.x + dir[i][0];
            q.y = p.y + dir[i][1];
            if( q.x < 1 || q.y < 1 || q.x > m || q.y > m ) continue;
            if( a[q.x][q.y] == -1 )
            {
                if( a[p.x][p.y] == -1 ) continue;
                q.t = p.t + 2;
                q.c = p.c;
                if( q.t < MIN[q.x][q.y][q.c] )
                {
                    MIN[q.x][q.y][q.c] = q.t;
                    que.push(q);
                }
                q.c = !(p.c);
                q.t++;
                if( q.t < MIN[q.x][q.y][q.c] )
                {
                    MIN[q.x][q.y][q.c] = q.t;
                    que.push(q);
                }
            }
            else
            {
                q.t = p.t;q.c = a[q.x][q.y];
                if( q.c != p.c ) q.t++;
                if( q.t < MIN[q.x][q.y][q.c] )
                {
                    MIN[q.x][q.y][q.c] = q.t;
                    que.push(q);
                }
            }
        }
    }while(!que.empty());
    printf("-1\n");
    return 0;
}

//某初三dalao的SPFA
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<queue>
#define maxn 105
#define maxe 2000005
using namespace std;

int n,m,col[maxn][maxn],cnt,mark[maxn][maxn],dis[10005],
dir[4][2]={{-1,0},{1,0},{0,-1},{0,1}};

bool inq[10005];

int info[maxe],Prev[maxe],to[maxe],cst[maxe],cnt_e;

void insert(int u,int v,int w){
    cnt_e++;
    Prev[cnt_e]=info[u],info[u]=cnt_e,to[cnt_e]=v,cst[cnt_e]=w;
}

bool check(int u,int v){
    return u>=1 && u<=m && v>=1 && v<=m && col[u][v]!=-1;
}

int main(){
    int u,v,c,x,y;
    scanf("%d%d",&m,&n);
    memset(col,-1,sizeof col);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&c);
        col[u][v]=c;
        mark[u][v]=++cnt;
    }

    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(col[i][j]!=-1)
                for(int k=0;k<4;k++)
                {
                    if(!check(u=i+dir[k][0],v=j+dir[k][1])) continue;
                    insert(mark[i][j],mark[u][v],col[i][j]^col[u][v]);
                    insert(mark[u][v],mark[i][j],col[i][j]^col[u][v]);
                }
            else{
                for(int k=0;k<4;k++)
                    for(int l=k+1;l<4;l++)
                        if(check(u=i+dir[k][0],v=j+dir[k][1]) && check(x=i+dir[l][0],y=j+dir[l][1]))
                        {
                            insert(mark[x][y],mark[u][v],(col[x][y]^col[u][v])+2);
                            insert(mark[u][v],mark[x][y],(col[x][y]^col[u][v])+2);
                        }
            }
        }

    queue<int>q;
    q.push(mark[1][1]);
    memset(dis,0x3f,sizeof dis);
    dis[mark[1][1]]=0;inq[mark[1][1]]=1;
    int now;
    while(!q.empty()){
        now=q.front();q.pop();inq[now]=0;
        for(int i=info[now];i;i=Prev[i])
            if(dis[to[i]]>dis[now]+cst[i])
            {
                dis[to[i]]=dis[now]+cst[i];
                if(!inq[to[i]])
                {
                    inq[to[i]]=1;
                    q.push(to[i]);
                }
            }
    }

    if(dis[mark[m][m]]==0x3f3f3f3f) dis[mark[m][m]]=-1;
    if(mark[m][m]) printf("%d",dis[mark[m][m]]);
    else{
        int ans=0x3f3f3f3f;
        for(int i=0;i<4;i++)
            if(check(u=m+dir[i][0],v=m+dir[i][1]))
                ans=min(ans,dis[mark[u][v]]+2);
        if(ans==0x3f3f3f3f) ans=-1;
        printf("%d",ans);
    }
}