【hdu 5632】Rikka with Array
Description
As we know, Rikka is poor at math. Yuta is worrying about this situation, so he gives Rikka some math tasks to practice. There is one of them:
Yuta has an array A of length n,and the ith element of A is equal to the sum of all digits of i in binary representation. For example,A[1]=1,A[3]=2,A[10]=2.
Now, Yuta wants to know the number of the pairs (i,j)(1≤i<j≤n) which satisfy A[i]>A[j].
It is too difficult for Rikka. Can you help her?
Input
The first line contains a number T(T≤10)——The number of the testcases. For each testcase, the first line contains a number n(n≤10300).
Output
For each testcase, print a single number. The answer may be very large, so you only need to print the answer modulo 998244353.
Sample Input
1 10
Sample Output
7
题意:给定一个数$n(n\leq 10^{300})$,问有多少个数对$(i , j)$,满足$1\leq i<j \leq n$且$f[i]>f[j]$,$f[x]$为$x$二进制表示下$1$的个数。
分析:(在打模拟赛时写到的题目……好像写了一种跟所有人都不一样的写法)
首先考虑一个数$x$,我们需要统计满足$1\leq i<x$且$f[i]>f[x]$的$i$的个数。考虑数位dp,将$x$转为二进制形式,从低位往高位推。假设当前在第$i$位,从第$1$位到第$i$位共有$k$个$1$:若当前位为$0$,则直接跳过进行下一位的统计;否则钦定当前要统计进答案的数字的比第$i$位高的位置与$x$相同,且第$i$位为$0$,则此时最低的第$i-1$位至少要有$k+1$个$1$,可任意选取,即需要统计进答案里的方案数为$\sum _{j=k+1}^{i-1} \binom{i-1}{j}$ ,令$s(i,j)=\sum _{d=0}^{j}\binom{i}{d}$,则公式简化为$s(i-1,i-1)-s(i-1,k)$。
现在我们需要统计总答案,且因为$n$很大,无法直接枚举。考虑将$n$转成二进制形式,共有$cnt$位,$a_{i}$为$n$在二进制下第$i$位上的数字。统计每一个$s(i-1,i-1)-s(i-1,k)$被统计进答案的贡献。若$s(i-1,i-1)-s(i-1,k)$会在数字$x$时被统计进答案里,$x$需要满足以下几个条件:1.$1\leq x\leq n$,2. $x$的第$i$位为$1$,3.$x$的前$i$位恰好有$k$个$1$。答案转化为统计满足条件的$x$的个数。
我们递推一个数组$f$,$f(i,j)$表示数值小于等于$n$最低的$i$位,且二进制下恰好含有$j$个$1$的数字的方案数。可得:
$$f(i,j)=\begin{cases}f(i-1,j)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(a_{i}=0)\\f(i-1,j-1)+\binom{i-1}{j}~~~(a_{i}=1)\end{cases}$$
特殊的,$f(i,0)=1(0\leq i\leq cnt)$。然后就可以数位dp出对于每一个$(i-1,k)$的组合,所有符合条件的数$x$了。
枚举当前在第$i$位,前$i-1$位总共有$k$个$1$,我们令$num=\sum _{d=i+1}^{cnt} 2^{d-(i+1)}\cdot a_{d}$,即大于第$i$位的部分的$0$到$num-1$的方案,则$s(i-1,i-1)-s(i-1,k+1)$的系数$t$计算方式如下:
$$t=\begin{cases}num\cdot \binom{i-1}{k}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(a_{i}=0)\\num\cdot \binom{i-1}{k}+f(i-1,k)~~~(a_{i}=1)\end{cases}$$
然后就可以得到最终的答案了。
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define LL long long
using namespace std;
const int N=1e3+;
const int mod=;
int T,n,cnt,ans,tmp,num,now,t;
int x[N],a[N],C[N][N],s[N][N],f[N][N];
char ch[N];
int read()
{
int x=,f=;char c=getchar();
while(c<''||c>''){if(c=='-')f=-;c=getchar();}
while(c>=''&&c<=''){x=x*+c-'';c=getchar();}
return x*f;
}
void Mod(int& a,int b){a+=b;if(a>=mod)a-=mod;}
int main()
{
for(int i=;i<=;i++)C[i][]=;
for(int i=;i<=;i++)
for(int j=;j<=i;j++)
C[i][j]=(C[i-][j]+C[i-][j-])%mod;
for(int i=;i<=;i++)
for(int j=;j<=;j++)
if(j)s[i][j]=(s[i][j-]+C[i][j])%mod;
else s[i][j]=C[i][j];
T=read();
while(T--)
{
cnt=ans=;
scanf("%s",ch+);
n=strlen(ch+);
for(int i=;i<=n;i++)x[n-i+]=ch[i]-'';
if(n==&&(x[]==||x[]==)){printf("0\n");continue;}
while(n)
{
if(x[]&)a[++cnt]=,x[]--;
else a[++cnt]=;
for(int i=n;i>=;i--)
if(x[i]&)x[i]/=,x[i-]+=;
else x[i]/=;
while(n&&x[n]==)n--;
}
memset(f,,sizeof(f));
for(int i=;i<=cnt;i++)f[i][]=;
for(int j=;j<=cnt;j++)
for(int i=j;i<=cnt;i++)
if(!a[i])Mod(f[i][j],f[i-][j]);
else
{
Mod(f[i][j],f[i-][j-]);
Mod(f[i][j],C[i-][j]);
}
for(int i=;i<=cnt;i++)
{
num=;
for(int j=cnt;j>i;j--)num=(num*+a[j])%mod;
for(int j=;j<i;j++)
{
t=1ll*num*C[i-][j]%mod;
Mod(ans,1ll*(s[i-][i-]-s[i-][j+]+mod)%mod*t%mod);
if(!a[i])continue;
Mod(ans,1ll*(s[i-][i-]-s[i-][j+]+mod)%mod*f[i-][j]%mod);
}
}
printf("%d\n",ans);
}
return ;
}
【hdu 5632】Rikka with Array的更多相关文章
- 【hdu 6089】Rikka with Terrorist
题意 有一个 \(n\times m\) 的二维网格,其中有 \(k\) 个禁止点. 有 \(q\) 组询问,每组询问为给一个点,求有多少个矩形以这个点为一角且不包含禁止点. \(n,m,k,q\le ...
- 【数位dp】【HDU 3555】【HDU 2089】数位DP入门题
[HDU 3555]原题直通车: 代码: // 31MS 900K 909 B G++ #include<iostream> #include<cstdio> #includ ...
- 【HDU 5647】DZY Loves Connecting(树DP)
pid=5647">[HDU 5647]DZY Loves Connecting(树DP) DZY Loves Connecting Time Limit: 4000/2000 MS ...
- -【线性基】【BZOJ 2460】【BZOJ 2115】【HDU 3949】
[把三道我做过的线性基题目放在一起总结一下,代码都挺简单,主要就是贪心思想和异或的高斯消元] [然后把网上的讲解归纳一下] 1.线性基: 若干数的线性基是一组数a1,a2,a3...an,其中ax的最 ...
- 【HDU 2196】 Computer(树的直径)
[HDU 2196] Computer(树的直径) 题链http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2196 这题可以用树形DP解决,自然也可以用最直观的方法解 ...
- 【HDU 2196】 Computer (树形DP)
[HDU 2196] Computer 题链http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2196 刘汝佳<算法竞赛入门经典>P282页留下了这个问题 ...
- 【HDU 5145】 NPY and girls(组合+莫队)
pid=5145">[HDU 5145] NPY and girls(组合+莫队) NPY and girls Time Limit: 8000/4000 MS (Java/Other ...
- 【hdu 1043】Eight
[题目链接]:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1043 [题意] 会给你很多组数据; 让你输出这组数据到目标状态的具体步骤; [题解] 从12345 ...
- 【HDU 3068】 最长回文
[题目链接] http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3068 [算法] Manacher算法求最长回文子串 [代码] #include<bits/s ...
随机推荐
- Python开发【内置模块篇】collections
namedtuple namedtuple是一个函数,它用来创建一个自定义的tuple对象,并且规定了tuple元素的个数,并可以用属性而不是索引来引用tuple的某个元素. 这样一来,我们用name ...
- 需求规格说明书(SRS)特点
需求说明书的7大特征: 完整性 正确性 可行性 必要性 划分优先级 无二义性 可验证性 每条需求规格说明书的4大特点: 完整性 一致性 可修改性 可跟踪性 需求管理就是一种获取.组织并记录系统需求的系 ...
- MySQL常用日期时间函数
日期和时间函数: MySQL服务器中的三种时区设置: ①系统时区---保存在系统变量system_time_zone ②服务器时区---保存在全局系统变量global.time_zone ③每个客户端 ...
- Jenkins pipeline:pipeline 语法详解
jenkins pipeline 总体介绍 pipeline 是一套运行于jenkins上的工作流框架,将原本独立运行于单个或者多个节点的任务连接起来,实现单个任务难以完成的复杂流程编排与可视化. ...
- Linux下时钟框架实践---一款芯片的时钟树配置
关键词:时钟.PLL.Mux.Divider.Gate.clk_summary等. 时钟和电源是各种设备的基础设施,整个时钟框架可以抽象为几种基本的元器件:负责提供晶振 Linux内核提供了良好的CC ...
- JDK1.8源码(八)——java.util.HashSet 类
在上一篇博客,我们介绍了 Map 集合的一种典型实现 HashMap ,在 JDK1.8 中,HashMap 是由 数组+链表+红黑树构成,相对于早期版本的 JDK HashMap 实现,新增了红黑树 ...
- HRBUST - 2069-萌萌哒十五酱的衣服~-multiset-lower_bound
众所周知,十五酱有很多的衣服,而且十五酱东西收拾的非常糟糕. 所以十五酱经常找不到合适的衣服穿,于是她觉得收拾一下屋子,把衣服配成一套一套的~(即一件衬衫一件裤子. 十五酱一共有n件衣服,有衬衫有裤子 ...
- The 16th Zhejiang provincial collegiate programming contest
今天我挺有状态的,看过的题基本都给了正解(可能是昨晚cf div3打得跟屎一样,人品守恒,不好意思发题解了),自己也给队伍签了很多水题(不敢让队友写,怕出锅). 最后6题滚了,有点可惜.还差B和K没做 ...
- CI/CD持续集成/持续部署 敏捷开发
敏捷软件开发(英语:Agile software development),又称敏捷开发,是一种从1990年代开始逐渐引起广泛关注的一些新型软件开发方法,是一种应对快速变化的需求的一种软件开发能力.它 ...
- python dlib opencv 人脸68点特征检测
不得不感慨,现在现成的东西太多了,直接拿来用就行了 dlib安装(指定版本安装,避免踩坑) pip dlib中训练好的文件http://dlib.net/files/shape_predictor_6 ...