Description

As we know, Rikka is poor at math. Yuta is worrying about this situation, so he gives Rikka some math tasks to practice. There is one of them:

Yuta has an array A of length n,and the ith element of A is equal to the sum of all digits of i in binary representation. For example,A[1]=1,A[3]=2,A[10]=2.

Now, Yuta wants to know the number of the pairs (i,j)(1≤i<j≤n) which satisfy A[i]>A[j].

It is too difficult for Rikka. Can you help her?

Input

The first line contains a number T(T≤10)——The number of the testcases. For each testcase, the first line contains a number n(n≤10300).

Output

For each testcase, print a single number. The answer may be very large, so you only need to print the answer modulo 998244353.

Sample Input

1 10

Sample Output

7

题意:给定一个数$n(n\leq 10^{300})$,问有多少个数对$(i , j)$,满足$1\leq i<j \leq n$且$f[i]>f[j]$,$f[x]$为$x$二进制表示下$1$的个数。

分析:(在打模拟赛时写到的题目……好像写了一种跟所有人都不一样的写法)

首先考虑一个数$x$,我们需要统计满足$1\leq i<x$且$f[i]>f[x]$的$i$的个数。考虑数位dp,将$x$转为二进制形式,从低位往高位推。假设当前在第$i$位,从第$1$位到第$i$位共有$k$个$1$:若当前位为$0$,则直接跳过进行下一位的统计;否则钦定当前要统计进答案的数字的比第$i$位高的位置与$x$相同,且第$i$位为$0$,则此时最低的第$i-1$位至少要有$k+1$个$1$,可任意选取,即需要统计进答案里的方案数为$\sum _{j=k+1}^{i-1} \binom{i-1}{j}$ ,令$s(i,j)=\sum _{d=0}^{j}\binom{i}{d}$,则公式简化为$s(i-1,i-1)-s(i-1,k)$。

现在我们需要统计总答案,且因为$n$很大,无法直接枚举。考虑将$n$转成二进制形式,共有$cnt$位,$a_{i}$为$n$在二进制下第$i$位上的数字。统计每一个$s(i-1,i-1)-s(i-1,k)$被统计进答案的贡献。若$s(i-1,i-1)-s(i-1,k)$会在数字$x$时被统计进答案里,$x$需要满足以下几个条件:1.$1\leq x\leq n$,2. $x$的第$i$位为$1$,3.$x$的前$i$位恰好有$k$个$1$。答案转化为统计满足条件的$x$的个数。

我们递推一个数组$f$,$f(i,j)$表示数值小于等于$n$最低的$i$位,且二进制下恰好含有$j$个$1$的数字的方案数。可得:

$$f(i,j)=\begin{cases}f(i-1,j)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(a_{i}=0)\\f(i-1,j-1)+\binom{i-1}{j}~~~(a_{i}=1)\end{cases}$$

特殊的,$f(i,0)=1(0\leq i\leq cnt)$。然后就可以数位dp出对于每一个$(i-1,k)$的组合,所有符合条件的数$x$了。

枚举当前在第$i$位,前$i-1$位总共有$k$个$1$,我们令$num=\sum _{d=i+1}^{cnt} 2^{d-(i+1)}\cdot a_{d}$,即大于第$i$位的部分的$0$到$num-1$的方案,则$s(i-1,i-1)-s(i-1,k+1)$的系数$t$计算方式如下:

$$t=\begin{cases}num\cdot \binom{i-1}{k}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(a_{i}=0)\\num\cdot \binom{i-1}{k}+f(i-1,k)~~~(a_{i}=1)\end{cases}$$

然后就可以得到最终的答案了。

 #include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define LL long long
using namespace std;
const int N=1e3+;
const int mod=;
int T,n,cnt,ans,tmp,num,now,t;
int x[N],a[N],C[N][N],s[N][N],f[N][N];
char ch[N];
int read()
{
int x=,f=;char c=getchar();
while(c<''||c>''){if(c=='-')f=-;c=getchar();}
while(c>=''&&c<=''){x=x*+c-'';c=getchar();}
return x*f;
}
void Mod(int& a,int b){a+=b;if(a>=mod)a-=mod;}
int main()
{
for(int i=;i<=;i++)C[i][]=;
for(int i=;i<=;i++)
for(int j=;j<=i;j++)
C[i][j]=(C[i-][j]+C[i-][j-])%mod;
for(int i=;i<=;i++)
for(int j=;j<=;j++)
if(j)s[i][j]=(s[i][j-]+C[i][j])%mod;
else s[i][j]=C[i][j];
T=read();
while(T--)
{
cnt=ans=;
scanf("%s",ch+);
n=strlen(ch+);
for(int i=;i<=n;i++)x[n-i+]=ch[i]-'';
if(n==&&(x[]==||x[]==)){printf("0\n");continue;}
while(n)
{
if(x[]&)a[++cnt]=,x[]--;
else a[++cnt]=;
for(int i=n;i>=;i--)
if(x[i]&)x[i]/=,x[i-]+=;
else x[i]/=;
while(n&&x[n]==)n--;
}
memset(f,,sizeof(f));
for(int i=;i<=cnt;i++)f[i][]=;
for(int j=;j<=cnt;j++)
for(int i=j;i<=cnt;i++)
if(!a[i])Mod(f[i][j],f[i-][j]);
else
{
Mod(f[i][j],f[i-][j-]);
Mod(f[i][j],C[i-][j]);
}
for(int i=;i<=cnt;i++)
{
num=;
for(int j=cnt;j>i;j--)num=(num*+a[j])%mod;
for(int j=;j<i;j++)
{
t=1ll*num*C[i-][j]%mod;
Mod(ans,1ll*(s[i-][i-]-s[i-][j+]+mod)%mod*t%mod);
if(!a[i])continue;
Mod(ans,1ll*(s[i-][i-]-s[i-][j+]+mod)%mod*f[i-][j]%mod);
}
}
printf("%d\n",ans);
}
return ;
}

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