bzoj 5093 图的价值 —— 第二类斯特林数+NTT
题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=5093
每个点都是等价的,从点的贡献来看,得到式子:
\( ans = n * \sum\limits_{d=0}^{n-1} d^{k} * 2^{C_{n-1}^{2}} * C_{n-1}^{d} \)
使用 \( n^{k} = \sum\limits_{i=0}^{k} S(k,i) * i! *C_{n}^{i} \)
得到 \( ans = n * \sum\limits_{d=0}^{n-1} 2^{C_{n-1}^{2}} * C_{n-1}^{d} * \sum\limits_{j=0}^{k} S(k,j) * j! * C_{d}^{j} \)
此时不要把组合数拆成阶乘!虽然拆成阶乘可以消去 \( d! \),但如果不消去,放在一起可以得到新的组合意义;
\( ans = n * 2^{C_{n-1}^{2}} * \sum\limits_{j=0}^{k} S(k,j) * j! * \sum\limits_{d=0}^{n-1} C_{n-1}^{d} * C_{d}^{j} \)
而 \( \sum\limits_{d=0}^{n-1} C_{n-1}^{d} * C_{d}^{j} \) 表示从 \( n-1 \) 个人里选 \( d \) 个人,再从 \( d \) 个人里选 \( j \) 个人;
其实就是从 \( n-1 \) 个人里选 \( j \) 个人,剩下的人随便选,即 \( C_{n-1}^{j} * 2^{n-1-j} \)
所以 \( ans = n * 2^{C_{n-1}^{2}} * \sum\limits_{j=0}^{k} S(k,j) * j! * C_{n-1}^{j} * 2^{n-1-j} \)
而通过 \( S(n,m) = \frac{1}{m!} \sum\limits_{k=0}^{m} C_{m}^{k} * (m-k)^{n} * (-1)^{k} \) (枚举 \( k \) 个空组,最后除去 \( m \) 组的排列)
即 \( S(n,m) = \sum\limits_{k=0}^{m} \frac{(m-k)^{n}}{(m-k)!} * \frac{(-1)^{k}}{k!} \)
可以用NTT求出一行的第二类斯特林数,也就是求出 \( S(k,i) \)
然后把 \( C_{n-1}^{j} \) 拆开约分,上下都只有 \( k \) 级别,预处理即可;
还是要注意次数是对 \( mod-1 \) 取模。
代码如下:
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
int const xn=2e5+,xm=(<<),mod=;
int n,m,lim,a[xm],b[xm],rev[xm],jc[xn],jcn[xn],jd[xn];
int upt(int x){while(x>=mod)x-=mod; while(x<)x+=mod; return x;}
ll pw(ll a,ll b)
{
ll ret=; a=a%mod; b=b%(mod-);
for(;b;b>>=,a=(a*a)%mod)if(b&)ret=(ret*a)%mod;
return ret;
}
void init()
{
jc[]=;
for(int i=;i<=m;i++)jc[i]=(ll)jc[i-]*i%mod;
jcn[m]=pw(jc[m],mod-);
for(int i=m-;i>=;i--)jcn[i]=(ll)jcn[i+]*(i+)%mod;
jd[]=;
for(int j=;j<=m;j++)jd[j]=(ll)jd[j-]*(n-j)%mod;
}
void ntt(int *a,int tp)
{
for(int i=;i<lim;i++)
if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
for(int mid=;mid<lim;mid<<=)
{
int len=(mid<<),wn=pw(,tp==?(mod-)/len:(mod-)-(mod-)/len);
for(int j=;j<lim;j+=len)
for(int k=,w=;k<mid;k++,w=(ll)w*wn%mod)
{
int x=a[j+k],y=(ll)w*a[j+mid+k]%mod;
a[j+k]=upt(x+y); a[j+mid+k]=upt(x-y);
}
}
if(tp==)return; int inv=pw(lim,mod-);
for(int i=;i<lim;i++)a[i]=(ll)a[i]*inv%mod;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m); init();
lim=; int l=;
while(lim<=m+m)lim<<=,l++;
for(int i=;i<lim;i++)rev[i]=((rev[i>>]>>)|((i&)<<(l-)));
for(int i=;i<=m;i++)a[i]=(ll)pw(i,m)*jcn[i]%mod;
for(int i=;i<=m;i++)b[i]=upt((i&?-:)*jcn[i]);
ntt(a,); ntt(b,);
for(int i=;i<lim;i++)a[i]=(ll)a[i]*b[i]%mod;
ntt(a,-);
int ans=;
for(int j=;j<=m;j++)
ans=(ans+(ll)a[j]*jc[j]%mod*jd[j]%mod*jcn[j]%mod*pw(,n--j))%mod;
printf("%lld\n",(ll)n*pw(,((ll)(n-)*(n-)/))%mod*ans%mod);
return ;
}
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