【bzoj1690】[Usaco2007 Dec]奶牛的旅行 分数规划+Spfa

题目描述

作为对奶牛们辛勤工作的回报，Farmer John决定带她们去附近的大城市玩一天。旅行的前夜，奶牛们在兴奋地讨论如何最好地享受这难得的闲暇。 很幸运地，奶牛们找到了一张详细的城市地图，上面标注了城市中所有L(2 <= L <= 1000)座标志性建筑物（建筑物按1..L顺次编号），以及连接这些建筑物的P(2 <= P <= 5000)条道路。按照计划，那天早上Farmer John会开车将奶牛们送到某个她们指定的建筑物旁边，等奶牛们完成她们的整个旅行并回到出发点后，将她们接回农场。由于大城市中总是寸土寸金，所有的道路都很窄，政府不得不把它们都设定为通行方向固定的单行道。 尽管参观那些标志性建筑物的确很有意思，但如果你认为奶牛们同样享受穿行于大城市的车流中的话，你就大错特错了。与参观景点相反，奶牛们把走路定义为无趣且令她们厌烦的活动。对于编号为i的标志性建筑物，奶牛们清楚地知道参观它能给自己带来的乐趣值F_i (1 <= F_i <= 1000)。相对于奶牛们在走路上花的时间，她们参观建筑物的耗时可以忽略不计。 奶牛们同样仔细地研究过城市中的道路。她们知道第i条道路两端的建筑物 L1_i和L2_i（道路方向为L1_i -> L2_i），以及她们从道路的一头走到另一头所需要的时间T_i(1 <= T_i <= 1000)。 为了最好地享受她们的休息日，奶牛们希望她们在一整天中平均每单位时间内获得的乐趣值最大。当然咯，奶牛们不会愿意把同一个建筑物参观两遍，也就是说，虽然她们可以两次经过同一个建筑物，但她们的乐趣值只会增加一次。顺便说一句，为了让奶牛们得到一些锻炼，Farmer John要求奶牛们参观至少2个建筑物。 请你写个程序，帮奶牛们计算一下她们能得到的最大平均乐趣值。

输入

* 第1行: 2个用空格隔开的整数：L 和 P

* 第2..L+1行: 第i+1行仅有1个整数：F_i * 第L+2..L+P+1行: 第L+i+1行用3个用空格隔开的整数：L1_i，L2_i以及T_i， 描述了第i条道路。

输出

* 第1行: 输出1个实数，保留到小数点后2位（直接输出，不要做任何特殊的取 整操作），表示如果奶牛按题目中描述的一系列规则来安排她们的旅 行的话，她们能获得的最大平均乐趣值

样例输入

5 7
30
10
10
5
10
1 2 3
2 3 2
3 4 5
3 5 2
4 5 5
5 1 3
5 2 2

样例输出

6.00

---

题目大意

给出一张有向图，求一个环，使得环上的点权和/边权和最大（每个点只计算一次，每条边计算多次）

题解

分数规划+Spfa

首先，可以确定的是答案一定是简单环。

粗略的证明：如果存在一个复杂环，把它拆成两个环，这两个环不可能点权和/边权和都小于复杂环的点权和/边权和，而复杂环中点权只计算一次，因此答案更小。

所以只要找到一个比值最大的简单环即可。这显然是一个01分数规划问题。

于是二分答案，把点权加到边权上，使用Spfa判断是否存在正环即可。

#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define N 1010
#define M 5010
using namespace std;
queue<int> q;
int n , w[N] , head[N] , to[M] , len[M] , next[M] , cnt , inq[N] , num[N];
double dis[N];
void add(int x , int y , int z)
{
    to[++cnt] = y , len[cnt] = z , next[cnt] = head[x] , head[x] = cnt;
}
bool judge(double mid)
{
    int x , i;
    double t;
    memset(dis , 0 , sizeof(dis));
    memset(num , 0 , sizeof(num));
    while(!q.empty()) q.pop();
    for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) q.push(i) , inq[i] = 1;
    while(!q.empty())
    {
        x = q.front() , q.pop() , inq[x] = 0;
        for(i = head[x] ; i ; i = next[i])
        {
            t = w[to[i]] - len[i] * mid;
            if(dis[to[i]] < dis[x] + t)
            {
                dis[to[i]] = dis[x] + t;
                if(!inq[to[i]])
                {
                    if(num[to[i]] >= n) return 1;
                    inq[to[i]] = 1 , num[to[i]] ++ , q.push(to[i]);
                }
            }
        }
    }
    return 0;
}
int main()
{
    int m , i , x , y , z , tot = 60;
    double l = 0 , r = 1e9 , mid;
    scanf("%d%d" , &n , &m);
    for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) scanf("%d" , &w[i]);
    for(i = 1 ; i <= m ; i ++ ) scanf("%d%d%d" , &x , &y , &z) , add(x , y , z);
    while(tot -- )
    {
        mid = (l + r) / 2;
        if(judge(mid)) l = mid;
        else r = mid;
    }
    printf("%.2lf\n" , r);
    return 0;
}