bzoj1101:[POI2007]ZAP-Queries

[POI2007]ZAP-Queries

题意简述：对于给定的整数a,b和d，有多少正整数对x,y，满足x<=a，y<=b，并且gcd(x,y)=d。

Solution

很显然这是一个莫比乌斯反演题。

\[ans=\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}[gcd(i,j)=d]
\]

然后我们设

\[f(d)=ans=\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}[gcd(i,j)=d]\\
g(x)=\sum_{x|d}f(d)
\]

有

\[f(x)=\sum_{x|d}\mu(\frac{d}{x})g(d)
\]

因为

\[g(x)=\sum_{i=1}^{a}\sum_{i=1}^{b}[x|gcd(i,j)]=\sum_{i=1}^{a/x}\sum_{i=1}^{b/x}[1|gcd(i,j)]=\frac{a}{x}\frac{b}{x}
\]

然后可以\(f(x)\)可以变成这样

\[f(x)=\sum_{x|d}\mu(\frac{d}{x})\frac{a}{d}\frac{b}{d}
\]

我们设\(t=\frac{d}{x}\),\(f(x)\)就成了这样

\[f(x)=\sum_{t=1}^{min(a,b)}\mu(t)\frac{a}{dx}\frac{b}{dx}
\]

此时\(f(x)\)已经可以\(O(n)\)计算了，但是由于多组询问，还需要采取数论分块的方式将时间复杂度优化到\(O(\sqrt{n})\)

代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
void read(int &x) {
	char ch; bool ok;
	for(ok=0,ch=getchar(); !isdigit(ch); ch=getchar()) if(ch=='-') ok=1;
	for(x=0; isdigit(ch); x=x*10+ch-'0',ch=getchar()); if(ok) x=-x;
}
#define rg register
const int maxn=5e4;long long ans;
int n,m,d,mu[maxn],prime[maxn],T,tot;bool vis[maxn];
void prepare()
{
	mu[1]=1;
	for(rg int i=2;i<=maxn;i++)
	{
		if(!vis[i])prime[++tot]=i,mu[i]=-1;
		for(rg int j=1;j<=tot&&prime[j]*i<=maxn;j++)
		{
			vis[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j])mu[i*prime[j]]=-mu[i];
			else {mu[i*prime[j]]=0;break;}
		}
	}
	for(rg int i=1;i<=maxn;i++)mu[i]+=mu[i-1];
}
int main()
{
	read(T);prepare();
	while(T--)
	{
		read(n),read(m),read(d);if(n>m)swap(n,m);
		ans=0;
		for(rg int i=1,j;i<=n;i=j+1)
		{
			j=min(n/(n/i),m/(m/i));
			long long t=1ll*(n/i/d)*(m/i/d);
			ans+=t*(mu[j]-mu[i-1]);
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
}