动态规划初步-单向STP

一、题目

给一个m行n列(m <= 10,n <= 100)的整数矩阵，从第一列任何位置出发每次往右、右下、右上走一格，最终达到最后一列。要求经过的整数之和最小。整个矩阵是环形的，即第一行的上一行是最后一行，最后一行的下一行是第一行。输路径上每一列的行号及路径上的整数和，多解时输出字典序最小的。

二、解题思路

我们按列考虑，从最后一列开始，每一列可以由前一列决定，设dp[i][j]表示由格子(i,j)到最后一列的最小开销。于是有dp[i][j] = max(dp[i][j + 1],dp[i - 1][j + 1],dp[i +1][j + 1])。把最后一列初始化为其本身，从右至左可得到每一列的情况，取第一列中的最小即可。由于要输出路径，用nextpos[i][j]记录在j+1列时选取的行坐标。字典序的处理见代码注释。

三、代码实现

 #include<stdio.h>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #include<string.h>
 using namespace std;

 const int INF = 0x3f3f3f3f;
 const int maxm =  + ;
 const int maxn =  + ;
 int maze[maxm][maxn],dp[maxm][maxn];  //dp[i][j]表示从(i,j)出发到最后一列的最小值
 int nextpos[maxn][maxn];            //nextpos[i][j]记录在j+1列时选取的行坐标
 int m, n;

 void slove()
 {
     int ans = INF, first = ;
     for (int j = n - ; j >= ; j--)                    //从右至左
     {
         for (int i = ; i < m; i++)
         {
             if (j == n - )  dp[i][j] = maze[i][j];        //边界
             else
             {
                 int rows[] = {i,i - ,i+};
                 if (i == ) rows[] = m - ;    //注意考虑m = 1、2
                 if (i == m - )  rows[] = ;
                 sort(rows, rows + );            //保证字典序最小
                 dp[i][j] = INF;
                 for (int k = ; k < ; k++)
                 {
                     int tmp = dp[rows[k]][j + ] + maze[i][j];
                     if (tmp < dp[i][j])
                     {
                         dp[i][j] = tmp;
                         nextpos[i][j] = rows[k];    //dp更新，nextpos也会更新，这保证了nextpos记录的是最优路径
                     }
                 }
             }
             if (j ==  && dp[i][j] < ans)
             {
                 ans = dp[i][j];
                 first = i;
             }
         }
     }

     printf("%d", first + );
     for (int i = nextpos[first][],j = ; j < n; j++)
     {
         printf(" %d", i + );
         i = nextpos[i][j];
     }
     printf("\n%d\n", ans);
 }

 int main()
 {
     while (scanf("%d%d",&m,&n) == )
     {
         for (int i = ; i < m; i++)
             for (int j = ; j < n; j++)
                 scanf("%d", &maze[i][j]);

         slove();
     }
     return ;
 }