欧几里得（辗转相除gcd）、扩欧（exgcd）、中国剩余定理（crt）、扩展中国剩余定理（excrt）简要介绍

1.欧几里得算法(辗转相除法）

直接上gcd和lcm代码。

 int gcd(int x,int y){
     return y==?x:gcd(y,x%y);
 }

 int lcm(int x,int y){
     return x*y/gcd(x,y);
 }

2.扩欧：exgcd：对于a,b,一定存在整数对(x，y)使ax+by=gcd(a,b)=d ，且a，b互质时，d=1。 x，y可递归地求得。

我懒得改返回值类型了

 long long exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y){
     long long d=a;
     if(b==)  y=,x=;
     else{
         d = exgcd(b,a%b,y,x);
         y -= a/b*x;
     }
     return d;
 }

求解 x，y的方法的理解：

设 a>b。
1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；
2，a>b>0 时
设 ax1+ by1= gcd(a,b);
bx2+ (a mod b)y2= gcd(b,a mod b);
根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b) = gcd(b,a mod b);
则：ax1+ by1 = bx2+ (a mod b)y2;
即：ax1+ by1 = bx2+ (a - [a / b] * b)y2
　　  　　　   = ay2+ bx2- [a / b] * by2;
　　　  　       = ay2+ b(x2- [a / b] *y2);

所以：x1=y2; y1=x2- [a / b] *y2;

这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.

这个思想是递归的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。

3.中国剩余定理（Chinese remainder theorem）

截自百度百科：

要求模下的唯一解，关键是求逆元。

拓展欧几里得如何求逆元：

当a与b互素时有 gcd(a ,b)=1
                即得： a*x+b*y=1

　　　　　　     a*x ≡ 1 (mod b)

由于a与b互素,同余式两边可以同除a 得：1*x ≡ 1/a (mod b)，因此 x 是 a mod b 的逆元；

求逆元也可单写为函数：a在模b意义下的逆元：inv(a,b);

 long long inv(long long a, long long b){
 　　exgcd(a,b,x,y);
 　　while(x<) x+=b;
 　　return x;
 }

51nod中还有个求乘法逆元的题，直接应用扩欧求逆元即可。

最后上crt完整代码：

  long long crt(){//pri数组和re数组分别保存质数和余数 也就是上图方程组中的mi和ai
        long long m=,ans=;
        for(int i=;i<n;i++){
            m*=pri[i];
        }
        for(int i=;i<n;i++){
            long long mi=m/pri[i],x,y;
            exgcd(mi,pri[i],x,y); //exgcd的应用：求得逆元x
            ans=(ans+re[i]*x*mi)%m;//加和求模下的唯一解
      }
      while(ans<) ans+=m;
      return ans;
 }

例题：51nod 1079中国剩余定理 http://www.51nod.com/Challenge/Problem.html#!#problemId=1079

 #include <iostream>
 using namespace std;
 int n;
 long long pri[],re[];//分别保存质数,和取余的结果
 //利用扩展欧几里得求乘法取模运算的逆元
 long long exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y){
     long long d=a;
     if(b==)  y=,x=;
     else{
         d=exgcd(b,a%b,y,x);
         y-=a/b*x;
     }
     return d;
 }
 //Chinese remainder theorem
 long long crt(){
     long long m=,ans=;
     for(int i=;i<n;i++){
         m*=pri[i];
     }
     for(int i=;i<n;i++){
         long long mi=m/pri[i],x,y;
         exgcd(mi,pri[i],x,y);
         ans=(ans+re[i]*x*mi)%m;
     }
     if(ans<) ans+=m;
     return ans;
 }
 int main(){
     cin>>n;
     for(int i=;i<n;i++){
         cin>>pri[i]>>re[i];
     }
     cout<<crt()<<endl;
     return ;
 }

4.扩展中国剩余定理（excrt）

如果人家给的除数不是质数怎么办？就要先处理线性同余方程组了。

我太笨了当时看了好久还是不会，现在稍微明白点了但还是迷迷糊糊，具体分析过程可以看这个dalao的blog，过程很详细：https://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/8425731.html

放一个参考人家修修改改写的题目吧。POJ2891

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #define ll long long
 using namespace std;

 const ll MAXN = 1e6 + ;
 ll K, C[MAXN], M[MAXN], x, y;

 ll gcd(ll a, ll b) {
     return b ==  ? a : gcd(b, a % b);
 }
 ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
     ll r=a;
     if (b == ) x = , y = ;
     else{
         r = exgcd(b, a % b, y, x);
         y -= (a / b) * x;
     }
     return r;
 }
 ll inv(ll a , ll b){//求逆元
     exgcd(a,b,x,y);
     while(x<) x+=b;
     return x;
 }

 int main(){
     while(cin>>K){
         for (ll i = ; i <= K; i++) scanf("%lld%lld", &M[i], &C[i]);
         bool flag = ;
         for (ll i = ; i <= K; i++) {
             ll M1 = M[i - ], M2 = M[i];
             ll C2 = C[i], C1 = C[i - ];
             ll T  = gcd(M1, M2);

             if ((C2 - C1) % T != ) { flag=; break; }
             M[i] = (M1 * M2) / T;
             C[i] = ( inv( M1 / T , M2 / T ) * (C2 - C1) / T ) % (M2 / T) * M1 + C1;
             C[i] = (C[i] % M[i] + M[i]) % M[i];
         }
         if(flag) cout<<C[K]<<endl;
         else cout<<-<<endl;

     }
     return ;
 }