Hall 定理

Hall 定理 是匈牙利算法的基础

大意是说，对于一个二分图

左边的集合记为X，右边的集合记为Y

存在完美匹配，（即匹配数目=min(|X|,|Y|)）的充分必要条件是

对于任意一个X的子集，设大小为k，那么和这个子集相连的Y必须不小于k个

这里有一个十分直观的证明

http://blog.csdn.net/werkeytom_ftd/article/details/65658944

【No Name Problem】

给出左右两边20个点的二分图以及一些边，每个点有点权

两边选出点集，要求可以选出一些边，使得子图的每一个点能且仅能被一条边覆盖

并且点权值和大于等于给定的值

【Solution】

我们可以对两边分别进行Hall定理统计，然后扫描一遍即可。

考虑加入左边的X集合以及任意一条匹配边，然后考虑加入Y集合

每次加入一个点，可能出现几种情况

1、已经被覆盖

2、加入匹配边，与之对应的不是X集合中点

3、匹配边对应的是X集合中的点，那么我们不断向前寻找，可知路径上每一个Y集合的点都是由于原因1造成的，所以我们可以调整成为2方案

这样就成了充分必要条件了。

然后扫描统计即可

#include <map>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define F(i,j,k) for (int i=j;i<=k;++i)
#define D(i,j,k) for (int i=j;i>=k;--i)
#define ll long long
#define mp make_pair
int fa[1<<21],fb[1<<21],n,m;
ll ta[1<<21],tb[1<<21];
int tpa,tpb;
int ca[21],cb[21],va[21],vb[21],t;
char s[51];

void print(int x)
{
	F(i,0,n-1) printf("%d",(x>>i)&1);
	printf("\n");
}

void solve()
{
	F(i,0,(1<<n)-1)
	{
//		printf("now is "); print(i);
		ll val=0; fa[i]=1; int cta=0,ctb=0;
		F(j,0,n-1) if (i&(1<<j))
		{
//			printf("& with %d ",fa[i^(1<<j)]); print(i^(1<<j));
			fa[i]&=fa[i^(1<<j)],cta++,val+=va[j];
		}
		for (int j=0;j<m;++j) if (cb[j]&i) ++ctb;
		if (ctb<cta) fa[i]=0;
//		printf("ca %d cb %d\n",cta,ctb);
		if (fa[i]) ta[++tpa]=val;
	}
	sort(ta+1,ta+tpa+1);
//	F(i,1,tpa) printf("%lld ",ta[i]); printf("\n");
	F(i,0,(1<<m)-1)
	{
		ll val=0; fb[i]=1; int cta=0,ctb=0;
		F(j,0,m-1) if (i&(1<<j))
			fb[i]&=fb[i^(1<<j)],cta++,val+=vb[j];
		for (int j=0;j<n;++j) if (ca[j]&i) ++ctb;
		if (ctb<cta) fb[i]=0;
		if (fb[i]) tb[++tpb]=val;
	}
	sort(tb+1,tb+tpb+1);
//	F(i,1,tpb) printf("%lld ",tb[i]); printf("\n");
}

void cal()
{
	int p=tpb; ll ans=0;
	F(i,1,tpa)
	{
		while (ta[i]+tb[p]>=t&&p>=1) p--;
		ans+=tpb-p;
	}
	printf("%lld\n",ans);
}

void Finout()
{
	freopen("guard.in","r",stdin);
	freopen("guard.out","w",stdout);
}

int main()
{
	Finout();
	scanf("%d%d",&n,&m);
	F(i,0,n-1)
	{
		scanf("%s",s);
		F(j,0,m-1)
			if (s[j]=='1') ca[i]|=1<<j,cb[j]|=1<<i;
	}
//	F(i,0,n-1) printf("peoa %d ",i),print(ca[i]);
//	F(i,0,m-1) printf("peob %d ",i),print(cb[i]);
	F(i,0,n-1) scanf("%d",&va[i]);
	F(i,0,m-1) scanf("%d",&vb[i]);
	solve();
	scanf("%d",&t);
	cal();
	return 0;
}

　　

【BZOJ 2138】

给定不包含的一些区间，每堆有一些石子，问每次从选定的区间内取K[i]个，在满足前面最大的情况下，当前最多能取出多少石子

【Solution】

考虑Hall定理，按照区间左端点排序，判定时只需要判定一个区间（删除永远不会用到的区间）

所以我们可以得到

$\sum _{i=l}^{r} b_i <= \sum _{i=L[l]}^{R[r]} a_i$

然后用前缀和变换一下

$c[i]=sb[i]-sa[R[i]]$
$d[i]=sb[l-1]-sa[L[l]-1]$

然后要求$c[r]<=d[l]$

然后我们考虑操作对上述条件的影响。

我们可以

令$x=min(i\epsilon[1,t] d[i])-max(i\epsilon[t,m]c[i])$

然后令$b[i]=x$

然后再线段树上维护即可

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 100005

int a[maxn],l[maxn],r[maxn],k[maxn],op[maxn],ban[maxn],dim[maxn];
int sa[maxn],c[maxn],d[maxn],rk[maxn],pos[maxn];
int data[2][maxn<<2],mx[2][maxn<<2],mn[2][maxn<<2],tag[2][maxn<<2];

long long sqt(int x)
{
    return x*x;
}

bool cmp(int a,int b)
{return l[a]==l[b]?r[a]<r[b]:l[a]<l[b];}

void make_tag(int id,int o,int f)
{
    tag[id][o]+=f;
    mx[id][o]+=f;
    mn[id][o]+=f;
}

void pushdown(int o)
{
    for (int i=0;i<2;++i)
        if (tag[i][o]!=0){
            make_tag(i,o<<1,tag[i][o]);
            make_tag(i,o<<1|1,tag[i][o]);
            tag[i][o]=0;
        }
}

void update(int o)
{
    for (int i=0;i<2;++i)
        mx[i][o]=max(mx[i][o<<1],mx[i][o<<1|1]),
        mn[i][o]=min(mn[i][o<<1],mn[i][o<<1|1]);
}

void build(int o,int l,int r)
{
    if (l==r){
        data[0][o]=mx[0][o]=mn[0][o]=c[l];
        data[1][o]=mx[1][o]=mn[1][o]=d[l];
        tag[0][o]=tag[1][o]=0;
        return ;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    build(o<<1,l,mid);
    build(o<<1|1,mid+1,r);
    update(o);
}

void modify(int id,int o,int l,int r,int L,int R,int f)
{
    if (L>R) return ;
    if (L<=l&&r<=R){
        make_tag(id,o,f);
        return ;
    }
    int mid=(l+r)>>1; pushdown(o);
    if (R>mid) modify(id,o<<1|1,mid+1,r,L,R,f);
    if (L<=mid) modify(id,o<<1,l,mid,L,R,f);
    update(o);
}

int query(int id,int o,int l,int r,int L,int R,int f)
{
    if (L<=l&&r<=R){
        if (f) return mx[id][o];
        else return mn[id][o];
    }
    int mid=(l+r)>>1; pushdown(o);
    if (R<=mid) return query(id,o<<1,l,mid,L,R,f);
    if (L>mid) return query(id,o<<1|1,mid+1,r,L,R,f);
    if (f) return max(query(id,o<<1,l,mid,L,R,f),query(id,o<<1|1,mid+1,r,L,R,f));
    else return min(query(id,o<<1,l,mid,L,R,f),query(id,o<<1|1,mid+1,r,L,R,f));
}

int main()
{

    #ifdef WXL
    freopen("in.txt","r",stdin);
    freopen("wa.txt","w",stdout);
    #endif

    int n,x,y,z,p,m;
    scanf("%d%d%d%d%d",&n,&x,&y,&z,&p);
    for (int i=1;i<=n;++i) a[i]=(sqt(i-x)+sqt(i-y)+sqt(i-z))%p;
    scanf("%d",&m); if (m==0) return 0;
    scanf("%d%d%d%d%d%d",&k[1],&k[2],&x,&y,&z,&p);
    for (int i=1;i<=m;++i) scanf("%d%d",&l[i],&r[i]);
    for (int i=3;i<=m;++i) k[i]=(x*k[i-1]+y*k[i-2]+z)%p;

//  for (int i=1;i<=n;++i) printf("%d ",a[i]); printf("\n");
//  for (int i=1;i<=m;++i) printf("%d ",k[i]); printf("\n");

    for (int i=1;i<=m;++i) op[l[i]]++,op[r[i]+1]--;
    for (int i=1;i<=n;++i) op[i]+=op[i-1];
    for (int i=1;i<=n;++i){
        if (!op[i]) ban[i]+=1;
        dim[i]=dim[i-1]+ban[i];
    }
//  for (int i=1;i<=n;++i) printf("%d ",dim[i]); printf("\n");
    for (int i=1;i<=m;++i) l[i]-=dim[l[i]],r[i]-=dim[r[i]];
    for (int i=1;i<=n;++i) if (!ban[i]) a[i-dim[i]]=a[i];
    n-=dim[n];

//  for (int i=1;i<=n;++i) printf("%d ",a[i]); printf("\n");
    for (int i=1;i<=m;++i) rk[i]=i;
    sort(rk+1,rk+m+1,cmp);
    for (int i=1;i<=m;++i) pos[rk[i]]=i;
//  for (int i=1;i<=m;++i) printf("%d %d\n",l[rk[i]],r[rk[i]]); printf("\n");
//  for (int i=1;i<=m;++i) printf("%d ",rk[i]); printf("\n");
    for (int i=1;i<=n;++i) sa[i]=a[i]+sa[i-1];
//  for (int i=1;i<=n;++i) printf("%d ",sa[i]); printf("\n");
    for (int i=1;i<=m;++i){
        c[i]=-sa[r[rk[i]]];
        d[i]=-sa[l[rk[i]]-1];
    }

//  for (int i=1;i<=m;++i) printf("%d ",c[i]); printf("\n");
//  for (int i=1;i<=m;++i) printf("%d ",d[i]); printf("\n");

    build(1,1,m);

    for (int i=1;i<=m;++i){
//      printf("Option s %d\n",i);
        int t=pos[i];
//      printf("T = %d\n",t);
        int D=query(1,1,1,m,1,t,0),C=query(0,1,1,m,t,m,1);
        int x=D-C;
//      printf("%d %d %d %d\n",C,D,D-C,x);
        x=min(x,k[i]);
        printf("%d\n",x);
        modify(0,1,1,m,t,m,x);
        modify(1,1,1,m,t+1,m,x);
//      for (int j=1;j<=m;++j) printf("%d ",query(0,1,1,m,j,j,0)); printf("\n");
//      for (int j=1;j<=m;++j) printf("%d ",query(1,1,1,m,j,j,0)); printf("\n");
    }

}

　

【ARC 076 F】

给定每个人的区间要求$<=l_i$ 或者$>=r_i$

求最大匹配，$n<=10w$

【Solution】

考虑Hall定理，我们只需要考虑整个区间或者一首一尾两种情况

整个区间比较容易计算最大不能匹配数目，略去

对于一首一尾的情况即统计$l_i<=s$ && $r_i>=t$的数目

然后对于每一个人看作$(l_i,r_i)$这个点

然后用扫描线解决即可

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define maxn 200050
int tag[maxn<<2],mx[maxn<<2];

void update(int o)
{
	mx[o]=max(mx[o<<1],mx[o<<1|1]);
}

void make_tag(int o,int f)
{
	tag[o]+=f;
	mx[o]+=f;
}

void pushdown(int o)
{
	if (tag[o]!=0){
		make_tag(o<<1,tag[o]);
		make_tag(o<<1|1,tag[o]);
		tag[o]=0;
	}
}

void modify(int o,int l,int r,int L,int R,int f)
{
//	printf("Modiy %d %d %d %d %d %d\n",o,l,r,L,R,f);
	if (L<=l&&r<=R){
		make_tag(o,f);
		return ;
	}
	int mid=(l+r)>>1; pushdown(o);
	if (R>mid) modify(o<<1|1,mid+1,r,L,R,f);
	if (L<=mid) modify(o<<1,l,mid,L,R,f);
	update(o);
}

void build(int o,int l,int r)
{
	if (l==r){
		mx[o]=l;
		tag[o]=0;
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	build(o<<1,l,mid);
	build(o<<1|1,mid+1,r);
	update(o);
}

int query(int o,int l,int r,int L,int R)
{
	if (L<=l&&r<=R) return mx[o];
	int mid=(l+r)>>1; pushdown(o);
	if (R<=mid) return query(o<<1,l,mid,L,R);
	else if (L>mid) return query(o<<1|1,mid+1,r,L,R);
	else return max(query(o<<1,l,mid,L,R),query(o<<1|1,mid+1,r,L,R));
}

vector <int> v[maxn];

int main()
{

	#ifdef WXL
	freopen("in.txt","r",stdin);
	#endif

	int n,m,ans;
	scanf("%d%d",&n,&m); ans=max(0,n-m);
	for (int i=1;i<=n;++i){
		int x,y;
		scanf("%d%d",&x,&y);
		v[x].push_back(y);
	}
	build(1,0,m+1);
	for (int i=0;i<=m;++i){
		for (int j=0;j<(int)v[i].size();++j){
//			printf("%d -- %d+1\n",0,v[i][j]);
			modify(1,0,m+1,0,v[i][j],1);
		}
//		printf("Mx on %d %d = %d\n",i+1,m+1,query(1,0,m+1,i+1,m+1));
//		printf("%d %d\n",i,query(1,0,m+1,i+1,m+1));
		ans=max(ans,query(1,0,m+1,i+1,m+1)-i-m-1);
	}
	printf("%d\n",ans);

}