uoj#37. 【清华集训2014】主旋律（状压dp+容斥）

传送门

第一眼容斥，然后我就死活容不出来了……

记\(f_i\)为点集\(i\)中的点强联通的方案数，那么就是总的方案数减去使\(i\)不连通的方案数

如果\(i\)不连通的话，我们可以枚举缩点之后拓扑序最小（也就是入度为\(0\)）的强连通分量，然而这种强联通分量可能不止一个，需要容斥，不难发现这里的容斥系数在强联通分量个数为奇数时为正，为偶数时为负（也就是强联通分量为奇数时要减掉方案数，为偶数时要加上方案数）

设\(g_i\)为点集\(i\)中形成奇数个强连通分量的方案数\(-\)形成偶数个强联通分量的方案数，设这个点集中编号最小的点为\(x\)，我们枚举与\(x\)在同一强连通分量中的点集\(j\)，容斥可得\(g_i=-\sum_{j\subset x}f_{i-j}g_j\)，注意这里不包含\(g\)只有一个强联通分量的方案数

然后我们钦定一下入度为\(0\)的强联通分量\(j\)，则有转移\(f_i=2^{sum_i}-\sum\limits_{j\subset i}2^{sum_i-w_j}\times g_j\)，其中\(sum[i]\)为点集\(i\)中的边数，\(w_j\)为\(i\)向\(j\)连边的数目，就是说这些钦定的点连不出来

最后把\(f_i\)给\(g_i\)加上去，代表\(g\)只有一个强联通分量的方案数

//minamoto
#include<bits/stdc++.h>
#define R register
#define fp(i,a,b) for(R int i=a,I=b+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(R int i=a,I=b-1;i>I;--i)
#define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v)
using namespace std;
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
inline char getc(){return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;}
int read(){
    R int res,f=1;R char ch;
    while((ch=getc())>'9'||ch<'0')(ch=='-')&&(f=-1);
    for(res=ch-'0';(ch=getc())>='0'&&ch<='9';res=res*10+ch-'0');
    return res*f;
}
char sr[1<<21],z[20];int C=-1,Z=0;
inline void Ot(){fwrite(sr,1,C+1,stdout),C=-1;}
void print(R int x){
    if(C>1<<20)Ot();if(x<0)sr[++C]='-',x=-x;
    while(z[++Z]=x%10+48,x/=10);
    while(sr[++C]=z[Z],--Z);sr[++C]='\n';
}
const int N=(1<<15)+5,P=1e9+7;
inline int add(R int x,R int y){return x+y>=P?x+y-P:x+y;}
inline int dec(R int x,R int y){return x-y<0?x-y+P:x-y;}
inline int mul(R int x,R int y){return 1ll*x*y-1ll*x*y/P*P;}
int ksm(R int x,R int y){
	R int res=1;
	for(;y;y>>=1,x=mul(x,x))if(y&1)res=mul(res,x);
	return res;
}
int in[N],out[N],sz[N],sum[N],w[N],f[N],g[N],bin[225];
int n,m,u,v,lim,S;
void dfs(int i,int j){
	if(i&(j-1))dfs(i,i&(j-1));
	w[j]=w[j-(j&-j)]+sz[in[j&-j]&i];
}
int main(){
//	freopen("testdata.in","r",stdin);
	n=read(),m=read(),bin[0]=1,lim=(1<<n);
	fp(i,1,m)bin[i]=mul(bin[i-1],2);
	fp(i,1,m)u=read()-1,v=read()-1,in[1<<v]|=(1<<u),out[1<<u]|=(1<<v);
	fp(i,1,lim){
		S=i-(i&-i),sz[i]=sz[S]+1,sum[i]=sum[S]+sz[in[i&-i]&i]+sz[out[i&-i]&i],f[i]=bin[sum[i]];
		dfs(i,i);
		for(R int j=S;j;j=(j-1)&S)g[i]=dec(g[i],mul(f[i^j],g[j]));
		for(R int j=i;j;j=(j-1)&i)f[i]=dec(f[i],mul(bin[sum[i]-w[j]],g[j]));
		g[i]=add(g[i],f[i]);
	}
	printf("%d\n",f[lim-1]);
	return 0;
}