ACM-ICPC 2018 沈阳赛区现场赛 K. Let the Flames Begin （约瑟夫环问题）

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题意：有 n 个人围成一个圈，从 1 开始报到第 k 个人出环，问第 m 个出环的人是谁，n、m、k <= 1e18 且 min（m，k）<= 2e6。

题解：容易得出O（m）的递推公式 f[n][m] = （f[n-1][m-1] + k - 1）% n + 1，初始状态 f[n-m+1][1]容易得出，当 m 小的时候用该公式计算。考虑 k 大 m 小的情况下，递推式的取膜很多情况下没有用到，可以用乘法代替加法加速递推的过程：

当前状态为f[a][b] = c， 经过 x 次加法后的状态为 f[a+x][b+x] = c + k * x，假设经过 x 次加法之后需要取模，有

c + k * x > a + x   →   x > （a - c）/ （k - 1）

得到该不等式后便可以计算出另一种情况了，还要注意 k = 1 需要特判。

 #include <bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 #define ll long long
 #define ull unsigned long long
 #define mst(a,b) memset((a),(b),sizeof(a))
 #define mp(a,b) make_pair(a,b)
 #define pi acos(-1)
 #define pii pair<int,int>
 #define pb push_back
 const int INF = 0x3f3f3f3f;
 const double eps = 1e-;
 const int MAXN = 2e6 + ;
 const int MAXM = 1e8 + ;
 const ll mod = 1e9 + ;

 ll f[MAXN];

 int main() {
 #ifdef local
     freopen("data.txt", "r", stdin);
 //    freopen("data.txt", "w", stdout);
 #endif
     int cas = ;
     int t;
     scanf("%d",&t);
     while(t--) {
         ll n,m,k;
         scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&k);
         printf("Case #%d: ",cas++);
         if(m <= k) {
             f[] = k % (n - m + );
             if(f[] == ) f[] = n - m + ;
             for(ll i = ; i <= m; i++)
                 f[i] = (f[i - ] + k - ) % (n - m + i) + ;
             printf("%lld\n",f[m]);
         } else {
             if(k == ) printf("%lld\n",m);
             else {
                 ll a = n - m + , b = ;
                 ll c = k % a, x = ;
                 if(c == ) c = a;
                 while(b + x <= m) {
                     a += x, b += x, c += k * x;
                     c %= a;
                     if(c == ) c = a;
                     x = (a - c) / (k - ) + ;
                 }
                 c += (m - b) * k;
                 c %= n;
                 if(c == ) c = n;
                 printf("%lld\n",c);
             }
         }
     }
     return ;
 }