Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 512 MB
Submit: 155  Solved: 78

Description

Input

第一行有四个整数 n, p, k, r,所有整数含义见问题描述。
1 ≤ n ≤ 10^9, 0 ≤ r < k ≤ 50, 2 ≤ p ≤ 2^30 − 1

Output

一行一个整数代表答案。

Sample Input

2 10007 2 0

Sample Output

8

HINT

 

Source

数学问题 组合数

震惊!考场上花式骗分竟然可以拿到80分!

正解:

  这个东西当然没有什么既成的公式,需要用DP推公式,和平常的公式推DP正好反过来了。

  发现这个式子的项覆盖了nk内所有%k==r的位置,那么可以考虑这个式子的组合意义——

  在全部nk个物品中,选出任意个物品使得选出的物品数%k==r的方案数!

  设f[考虑到第i个物品][选出数量%k==j]=方案数,于是变成了可以$O(n^3)$推出来的背包问题?

  还可以更加简单粗暴,$f[2n][(i+j)%k]=\sum f[n][i]*f[n][j] $ $O(n^2 logn)$倍增出解。

 /*by SilverN*/
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<vector>
#define LL long long
using namespace std;
const int mxn=;
int read(){
int x=,f=;char ch=getchar();
while(ch<'' || ch>''){if(ch=='-')f=-;ch=getchar();}
while(ch>='' && ch<=''){x=x*-''+ch;ch=getchar();}
return x*f;
}
int n,P,k,r;
struct num{
int x[];
void init(){
memset(x,,sizeof x);
}
}f;
num calc(const num &a,const num &b){
num res;
res.init();
for(int i=;i<=k;i++)
for(int j=;j<=k;j++)
(res.x[(i+j)%k]+=(LL)a.x[i]*b.x[j]%P)%=P;
return res;
}
num ksm(num a,LL t){
num res;
res.init();res.x[]=;
while(t){
if(t&)res=calc(res,a);
a=calc(a,a);
t>>=;
}
return res;
}
int main(){
int i,j;
n=read();P=read();k=read();r=read();
f.x[]=;
f.x[%k]+=;
f=ksm(f,(LL)n*k);
// for(i=0;i<=k;i++)printf("%d\n",f.x[i]);
printf("%d\n",f.x[r]);
return ;
}

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