最近公共祖先 LCA 倍增法

【简介】

解决LCA问题的倍增法是一种基于倍增思想的在线算法。

【原理】

原理和同样是使用倍增思想的RMQ－ST 算法类似,比较简单，想清楚后很容易实现。

对于每个节点u , ancestors[u][k] 表示 u 的第2^k个祖先是谁。很容易就想到递推式： ancestors[j][i] = ancestors[ancestors[j][i - 1]][i - 1];  根据二进制原理，理论上 u 的所有祖先都可以根据ancestors数组多次跳转得到，这样就间接地记录了每个节点的祖先信息。
     查询LCA(u,v)的时候：
         （一）u和v所在的树的层数如果一样，令u'=u。否则需要平衡操作（假设u更深），先找到u的一个祖先u', 使得u'的层数和v一样，此时LCA(u,v)=LCA(u',v) 。证明很简单：如果LCA(u,v)=v , 那么u'一定等于v ;如果LCA(u,v)=k ，k!=v ，那么k 的深度一定小于 v ， u、u'、v 一定在k的子树中；综上所述，LCA(u,v)=LCA(u',v)一定成立。

（二）此时u' 和 v 的祖先序列中一开始的部分一定有所重叠，重叠部分的最后一个元素（也就是深度最深，与u'、v最近的元素）就是所求的LCA(u,v)。这里ancestors数组就可以派上用场了。找到第一个不重叠的节点k，LCA(u,v)=ancestors[k][0] 。 找k的过程利用二进制贪心思想，先尽可能跳到最上层的祖先，如果两祖先相等，说明完全可以跳小点，跳的距离除2，这样一步步跳下去一定可以找到k。

【hdu 2586】

需要注意的是超界的处理。

 #pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
 #include <stdio.h>
 #include <string.h>
 #include <vector>
 #include <cmath>
 #include <iostream>
 using namespace std;
 int n,m;
 struct edge
 {
     int d,v,next;
     edge(){}
     edge(int _d,int _v,int _next)
     {
         d=_d;v=_v;next=_next;
     }
 }data[];
 int map[];
 int pool;
 void addedge(int s,int e,int v)
 {
     int t=map[s];
     data[pool++]=edge(e,v,t);
     map[s]=pool-;
 }
 int ANCLOG;
 int depth[];
 int ifv[];
 int dis[];
 int anc[][];
 void dfs(int cur,int dep)
 {
     ifv[cur]=;
     depth[cur]=dep;
     int p=map[cur];
     while (p!=-)
     {
        if (!ifv[data[p].d])
        {
            dis[data[p].d]=dis[cur]+data[p].v;
            anc[data[p].d][]=cur;
            dfs(data[p].d,dep+);
        }
         p=data[p].next;
     }
 }
 void initLCA()
 {
     for (int k=;k<ANCLOG;++k)
        for (int i=;i<n;++i)
     {
         if (anc[i][k-]==-) continue;
         anc[i][k]=anc[anc[i][k-]][k-];
     }
 }
 int getLCA(int u,int v)
 {
     if (depth[u]<depth[v]) swap(u,v);
     for (int k=ANCLOG;k>=;--k)
     {
         if (anc[u][k]==-) continue;
         if (depth[anc[u][k]]>=depth[v])
         {
             u=anc[u][k];
             if (depth[u]==depth[v]) break;
         }
     }
     if (u==v) return u;
     for (int k=ANCLOG;k>=;--k)
     {
          if (anc[u][k]==-) continue;
          if (anc[u][k]!=anc[v][k])
          {
              u=anc[u][k];
              v=anc[v][k];
          }
     }
     return anc[u][];
 }
 int main()
 {
     int T;
     scanf("%d",&T);
     while (T--)
     {
         pool=;
         memset(anc,-,sizeof anc);
         memset(map,-,sizeof map);
         memset(ifv,,sizeof ifv);
         scanf("%d%d",&n,&m);
         ANCLOG=(int)(log(n)/log(2.0));
         int s,e,v;
         for (int i=;i<n-;++i)
         {
             scanf("%d%d%d",&s,&e,&v);
             addedge(s-,e-,v);
             addedge(e-,s-,v);
         }
         dis[]=;
         dfs(,);
         initLCA();
         for (int i=;i<m;++i)
         {
             int u,v;
             scanf("%d%d",&u,&v);
             --u;--v;
             int k=getLCA(u,v);
             k=dis[u]+dis[v]-*dis[k];
             printf("%d\n",k);
         }
     }
 }