HDU 6467.简单数学题-数学题 (“字节跳动-文远知行杯”广东工业大学第十四届程序设计竞赛)

简单数学题

Time Limit: 4000/2000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/65536 K (Java/Others)
Total Submission(s): 580    Accepted Submission(s): 257

Problem Description

已知

F(n)=∑i=1n(i×∑j=inCij)

求 F(n) mod 1000000007

 

Input

多组输入，每组输入占一行，包含一个整数n（1 <= n <= 1e18)。
数据不超过300000组。

 

Output

对于每组输入，输出一行，包括一个数代表答案。

 

Sample Input

5
100

 

Sample Output

129
660756544

 

Source

“字节跳动-文远知行杯”广东工业大学第十四届程序设计竞赛

 

写的时候，推了好几次，每次都能优化一点点，最后发现就是一个公式。

优化过程代码中注释掉了。

 

推的过程中用到的一个公式

对于C(n,k)*k求和,k从1到n
n为常量,要求和的式子如下：
1*C(n,1)+2*C(n,2)+3*C(n,3)+.+n*C(n,n)
其中,C(n,k)的意义是组合数,n为下标,k为上标
最终结果为化简后的式子

C(n,k)*k
=k*n!/[(n-k)!k!]
=n*(n-1)!/[(k-1)!(n-k)!]
=n*C(n-1,k-1)
1*C(n,1)+2*C(n,2)+3*C(n,3)+.+n*C(n,n)
=n[C(n-1,0)+C(n-1,1)+C(n-1,2)+.+C(n-1,n-1)]
=n*2^(n-1)

 

代码:

 //
 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 const int maxn=1e5+;
 const int mod=;
 //
 //ll fac[maxn],inv[maxn];
 //
 //void init()
 //{
 //    fac[0]=fac[1]=1;
 //    inv[0]=inv[1]=1;
 //    for(ll i=2;i<maxn;i++)
 //    {
 //        fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
 //        inv[i]=1ll*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
 //    }
 //    for(ll i=2;i<maxn;i++)
 //        inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%mod;
 //}
 //ll C(ll x,ll y)
 //{
 //    if(y>x) return 0;
 //    if(y==0||x==0) return 1;
 //    return fac[x]*inv[y]%mod*inv[x-y]%mod;
 //}
 
 ll pow_mod(ll a,ll b){
      ll ans=;
      while(b){
          if(b%==){
              ans=ans*a%mod;
          }
          a=a*a%mod;
          b=b/;                              //这里是转化为二进制之后的进位---左进位
      }
      return ans;
  }
 
 //ll a[maxn];
 
 int main()
 {
 //    init();
 //    for(int i=1;i<=1e3;i++){
 ////        for(int j=1;j<=i;j++){
 ////            a[i]=(a[i]+j*C(i,j)%mod)%mod;
 ////        }
 //        a[i]=i*pow_mod(2,(i-1))%mod;
 //        a[i]=(a[i]+a[i-1])%mod;
 //        //a[i]+=a[i-1];
 //    }
     ll n;
     while(~scanf("%lld",&n)){
         ll ans=(((n-)%mod)*pow_mod(,n)+)%mod;
         cout<<ans<<endl;
     }
 }