BZOJ 4873 寿司餐厅（最大权闭合图 网络流）

寿司餐厅

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题目描述

Kiana 最近喜欢到一家非常美味的寿司餐厅用餐。
每天晚上，这家餐厅都会按顺序提供n种寿司，第i种寿司有一个代号 ai和美味度 di,i，不同种类的寿司有可能使用相同的代号。每种寿司的份数都是无限的，Kiana 也可以无限次取寿司来吃，但每种寿司每次只能取一份，且每次取走的寿司必须是按餐厅提供寿司的顺序连续的一段，即 Kiana 可以一次取走第 1,2种寿司各一份，也可以一次取走第 2,3种寿司各一份，但不可以一次取走第 1,3种寿司。
由于餐厅提供的寿司种类繁多，而不同种类的寿司之间相互会有影响：三文鱼寿司和鱿鱼寿司一起吃或许会很棒，但和水果寿司一起吃就可能会肚子痛。因此，Kiana 定义了一个综合美味度 di,j (i<j)，表示在一次取的寿司中，如果包含了餐厅提供的从第i份到第j份的所有寿司，吃掉这次取的所有寿司后将获得的额外美味度。由于取寿司需要花费一些时间，所以我们认为分两次取来的寿司之间相互不会影响。注意在吃一次取的寿司时，不止一个综合美味度会被累加，比如若 Kiana 一次取走了第 1,2,3种寿司各一份，除了 d1,3以外，d1,2,d2,3也会被累加进总美味度中。
神奇的是，Kiana 的美食评判标准是有记忆性的，无论是单种寿司的美味度，还是多种寿司组合起来的综合美味度，在计入 Kiana 的总美味度时都只会被累加一次。比如，若 Kiana 某一次取走了第 1,2种寿司各一份，另一次取走了第 2,3种寿司各一份，那么这两次取寿司的总美味度为 d1,1+d2,2+d3,3+d1,2+d2,3，其中 d2,2只会计算一次。
奇怪的是，这家寿司餐厅的收费标准很不同寻常。具体来说，如果 Kiana 一共吃过了 c (c>0)种代号为x的寿司，则她需要为这些寿司付出 mx2+cx元钱，其中m是餐厅给出的一个常数。
现在 Kiana 想知道，在这家餐厅吃寿司，自己能获得的总美味度（包括所有吃掉的单种寿司的美味度和所有被累加的综合美味度）减去花费的总钱数的最大值是多少。由于她不会算，所以希望由你告诉她。

输入

第一行包含两个正整数 n,m，分别表示这家餐厅提供的寿司总数和计算寿司价格中使用的常数。
第二行包含n个正整数，其中第k个数 ak表示第k份寿司的代号。
接下来n行，第i行包含 n−i+1个整数，其中第j个数 di,i+j−1表示吃掉寿司能获得的相应的美味度，具体含义见问题描述。

输出

输出共一行包含一个正整数，表示 Kiana 能获得的总美味度减去花费的总钱数的最大值。

样例输入

3 1
2 3 2
5 -10 15
-10 15
15

样例输出

12

提示

对于所有数据，保证 −500≤di,j≤500。

【题意】有n种寿司，每一种有无数个，每种寿司编号在有个编号，编号可能相同，现在吃寿司，你可以按照1~k在其中取一段连续的顺序吃，有一个额外美味 度，单独吃也有单独的美味度，每一种编号x的寿司吃完耗费m*x*x,问美味度-耗费最大值。

【分析】最大权闭合子图，指的是对于一张有向图，每个顶点都有一个权值，可正可负。有u->v，当你选择了u就必须选择v，现在要选择一些顶点，使得所得的权值最大。做法就是网络流，源点向所有正权值连边，边容量为顶点权值，所有负权值向汇点连边，边容量为权值的绝对值，，原图中边的容量为inf。跑网络流求最小割，然后答案为正权值之和-最小割。

对于出题人的数据，我们可以换个姿势来看：

5 -10 15

-10 15

15

可以看出每次选择都是一个直角三角形。

那么对于每个点(i,j) (j>i)，如果它被选择，那么点(i,j-1)和点(i+1,j)也一定被选择，以此类推。

根据这个来建一个点权图。

对于点(i,j) (j>i)，点权为d[i][j]，并向点(i,j-1)和点(i+1,j)连边。

对于点(i,i)，点权为d[i][i]-a[i]，即收益减去费用，并向编号a[i]连边。

对于编号p，点权为-m*p*p。

所求为最大权闭合图，所以转化为网络流最小割来求。

具体建图方法不用像上面说的先建点权图，直接建立网络图即可

#include <bits/stdc++.h>
#define inf 0x3f3f3f3f
#define met(a,b) memset(a,b,sizeof a)
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1e5+;
const int mod = 1e9+;
const double pi= acos(-1.0);
typedef pair<int,int>pii;
int n,m,k,f;
int a[],d[][],An=;
int num[][],cnt,ans;
struct Edge{
    int from,to,cap,flow;
    Edge(int u,int v,int c,int f):from(u),to(v),cap(c),flow(f){}
};
struct Dinic{
    int s,t;
    vector<Edge>edges;
    vector<int> G[N];
    bool vis[N];
    int d[N];
    int cur[N];
    void init(){
       for (int i=;i<=n+;i++)
           G[i].clear();
       edges.clear();
    }
    void AddEdge(int from,int to,int cap){
        edges.push_back(Edge(from,to,cap,));
        edges.push_back(Edge(to,from,,));
        int mm=edges.size();
        G[from].push_back(mm-);
        G[to].push_back(mm-);
    }
    bool BFS(){
        memset(vis,,sizeof(vis));
        queue<int>q;
        q.push(s);
        d[s]=;
        vis[s]=;
        while (!q.empty()){
            int x = q.front();q.pop();
            for (int i = ;i<G[x].size();i++){
                Edge &e = edges[G[x][i]];
                if (!vis[e.to] && e.cap > e.flow){
                    vis[e.to]=;
                    d[e.to] = d[x]+;
                    q.push(e.to);
                }
            }
        }
        return vis[t];
    }

    int DFS(int x,int a){
        if (x==t || a==)
            return a;
        int flow = ,f;
        for(int &i=cur[x];i<G[x].size();i++){
            Edge &e = edges[G[x][i]];
            if (d[x]+ == d[e.to] && (f=DFS(e.to,min(a,e.cap-e.flow)))>){
                e.flow+=f;
                edges[G[x][i]^].flow-=f;
                flow+=f;
                a-=f;
                if (a==)
                    break;
            }
        }
        return flow;
    }

    int Maxflow(int s,int t){
        this->s=s;
        this->t=t;
        int flow = ;
        while (BFS()){
            memset(cur,,sizeof(cur));
            flow+=DFS(s,inf);
        }
        return flow;
    }
}dc;
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
    int S=,T=1e5;
    dc.init();
    for(int i=;i<=An;i++){
        dc.AddEdge(i,T,m*i*i);
    }
    for(int i=;i<=n;i++){
        for(int j=i;j<=n;j++){
            scanf("%d",&d[i][j]);
            num[i][j]=An+(++cnt);
        }
    }
    for(int i=;i<=n;i++){
        for(int j=i;j<=n;j++){
            if(i==j){
                d[i][j]-=a[i];
                dc.AddEdge(num[i][i],a[i],inf);
            }
            else{
                dc.AddEdge(num[i][j],num[i][j-],inf);
                dc.AddEdge(num[i][j],num[i+][j],inf);
            }
            if(d[i][j]<){
                dc.AddEdge(num[i][j],T,-d[i][j]);
            }
            else {
                dc.AddEdge(S,num[i][j],d[i][j]);
                ans+=d[i][j];
            }
        }
    }
    printf("%d\n",ans-dc.Maxflow(S,T));
    return ;
}