Stirling数

第一类：

定义

第一类Stirling数表示表示将 n 个不同元素构成m个圆排列的数目。又根据正负性分为无符号第一类Stirling数

  

和带符号第一类Stirling数

  

。有无符号Stirling数分别表现为其升阶函数和降阶函数的各项系数[类似于二项式系数[3]  ]，形式如下：

对于有无符号Stirling数之间的关系有

  

。组合数学中的第一类Stirling数一般指无符号的第一类Stirling数。意思是n个不同元素构成m个圆排列的方案数。

 

所以

f(a,b)=f(a,b-1)+f(a-b,b)

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 int t;//测试数据数量
 int n;//苹果数
 int m; //盘子数
 int tot=;//最多有几种放法
 int f(int a,int b)
 {
     if(a<=||b<=)//当只有一个苹果或一个盘时，只有一种放法
     return ;
     if(a<b)
     return f(a,a);//苹果数<盘数，则最多只有b个盘有苹果
     else
     return f(a,b-)+f(a-b,b);///如果有一个不放，则有 f(a,b-1)种；如果每个都放，则相当于 f(a-b,b)
  }
 int main()
 {
 
     cin>>t;
     for(int i=;i<=t;i++)
     {
         cin>>m>>n;
         cout<<f(m,n)<<endl;
      }
     return ; }

Code

第二类：

定义

第二类Stirling数实际上是集合的一个拆分，表示将n个不同的元素拆分成m个集合的方案数，记为

  

或者

  

。和第一类Stirling数不同的是，集合内是不考虑次序的，而圆排列是有序的。常常用于解决组合数学中几类放球模型。描述为：将n个不同的球放入m个无差别的盒子中，要求盒子非空，有几种方案？

 

所以：

 

f(n,m)=f(n-1,m-1)+f(n-1,m)*m

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 int t;
 int n;
 int m;
 int tot=;
 int f(int a,int b)
 {
     if(a<=||b<=)
     return ;
     if(a<b)
     return f(a,a);
     else
     return f(a-,b-)+f(a-,b)*b;
  }
 int main()
 {
 
     cin>>t;
     for(int i=;i<=t;i++)
     {
         cin>>m>>n;
         cout<<f(m,n)<<endl;
      }
     return ;
 }