[BZOJ 1497][NOI 2006]最大获利（最大权闭合子图）

题目：http://www.lydsy.com:808/JudgeOnline/problem.php?id=1497

分析：

这是在有向图中的问题，且边依赖于点，有向图中存在点、边之间的依赖关系可以考虑最大权闭合子图

假设a与b之间有权值为c的边（根据题意是双向边）

那么我们可以建一个新节点，点的权值为c，并指向a点和b点（单向），同时断掉原本a,b之间的双向边，a,b的点的权值是它们的花费（负的）

那么对于原问题就转化成了求最大权闭合子图的问题了

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　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　最大权闭合子图

定义：有向图中选出一个点集V'，必须满足对于V‘中的每个点，它的后继也在V’中，选出所有点权值和最大的点集V‘

算法：

弄一个源点S，汇点T，S连向所有权值为正的点，容量为点的权值，所有权值为负的点连向T，容量为点的权值的绝对值。

最后ans=图G中所有权值为正的节点的和-最小割

证明：http://wenku.baidu.com/link?url=Q7LKOvCRFeMQkY1WulrZTAHjN3ud8gbhuqUOKwPbwmGDAmCB0_URdEkJ59WKWVRGn9xSg9TgbWSmhhBIMxvGS2wMbENrxre6ZuSeO2v3mX7

然后这里我也来说一说：

1、首先因为原图中的边全是+inf，所以割边一定是S连出的边或者连向T的边

2、假设最小割割完后，S所在集合为A，T所在集合为B，那么A和B一定是闭合子图（S，T点除外）

因为如果假设A不是闭合子图，那么就说明A中的某一个节点的后继在B中，也就说明最小割把这条边给割掉了，但是原图中的边全是inf，所以不可能被割掉，所以假设不成立，所以A一定是闭合子图，B也一定是闭合子图（同理）

3、接下来我们只要说明对于最小割情况下的A集合，一定是最大的闭合权子图

对于随便任意一个割C（当然还是不会割掉容量inf的边）

则C为B中所有权值为正的点权和（即S连出的边被割掉的总量）+B中所有权值为负的点权绝对值和（即连向T的边被割掉的总量）（C=x1+y1)

设A集合对应的闭合图的权值和W，则W=A中权值为正的节点的权值和-A中权值为负的节点的权值绝对值和（W=x2-y2)

相加得W+C=x1+x2+y1-y2

y1和y2显然相等

所以W+C=x1+x2=原图中所有权值为正的点权和（这是个常数！）

所以C越小，W就越大，于是就相当于求最小割了

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其实这一题有更优的算法，详见2007年集训队论文