这题是2016 CCPC 东北四省赛的B题, 其实很简单. 现场想到的就是正解, 只是在合并两个并查集这个问题上没想清楚.

做法

并查集合并 + 归并

  1. 对每个节点 $u$, 将 $u$ 到根的那些边添到一个初始为空的并查集中, 得到的并查集记作 $a_u$.
  2. 询问相当于将 $k$ 个并查集合并. 采用二路归并, 合并次数是 $O(n \cdot \log(n))$.

    $ n/2 + n/4 + n/8 + \dots + 1 = O(n \cdot \log(n)) $

合并两个并查集

详细讨论将并查集 $B$ 合并到并查集 $A$ 中这一问题.

这个问题与

给定两无向图 $A, B, V_B \subset V_A; \quad A(E_A, V_A) \to A'( E_A, E_A \cup E_B) $.

等价.

做法

$ \forall u \in E_B, \quad A.\mathrm{unite}(u, B.\mathrm{root}(u)) $

正确性

只要验证

在$B$中连通的任意两点 $u, v$, 在$ A'$中也连通.

是否满足.

Implementation

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std; const int N{1<<9};
const int M=1e4+5; int n, m; struct DSU{
int par[N];
int cnt; int find(int x){
return par[x]==x?x: par[x]=find(par[x]);
} void unite(int x, int y){
x=find(x);
y=find(y);
if(x!=y){
par[x]=y;
--cnt;
}
} void unite(DSU &a){
for(int i=1; i<=n; i++){
unite(find(i), a.find(i)); // ?
}
} void init(){
for(int i=1; i<=n; i++){
par[i]=i;
}
cnt=n;
} void copy(const DSU &a){
for(int i=1; i<=n; i++){
par[i]=a.par[i];
}
cnt=a.cnt;
}
}; DSU a[M], b[M]; vector<int> g[M]; struct Edge{
int u, v;
void read(){
scanf("%d%d", &u, &v);
}
}E[M]; void dfs(int u, int f){
a[u].copy(a[f]);
a[u].unite(E[u].u, E[u].v); for(auto v: g[u]){
dfs(v, u);
}
} void solve(int n){
for(int i=1; i<n; i<<=1){ // error-prone
for(int j=0; j+i<n; j+=i<<1){
b[j].unite(b[j+i]);
}
}
printf("%d\n", b[0].cnt);
} // int par[M]; int main(){ int T, cas{};
for(cin>>T; T--; ){
printf("Case #%d:\n", ++cas);
// int n, m;
cin>>n>>m; for(int i=1; i<=m; ++i){
g[i].clear();
} for(int i=2; i<=m; i++){
// scanf("%d", par+i);
int fa;
scanf("%d", &fa);
g[fa].push_back(i);
} for(int i=1; i<=m; ++i){
E[i].read();
} a[0].init();
dfs(1, 0); int q;
cin>>q;
for(; q--; ){
int k;
scanf("%d", &k);
for(int i=0; i<k; i++){
int x;
scanf("%d", &x);
b[i].copy(a[x]);
}
solve(k);
}
}
return 0;
}

Pitfalls

归并

for(int i=1; i<n; i<<=1){   // error-prone
for(int j=0; j+i<n; j+=i<<1){
b[j].unite(b[j+i]);
}
}

容易写错.

我第一发是这样写的

for(int i=2; i<=n; i<<=1){
for(int j=0; j+i/2<n; j+=i){
b[j].unite(b[j+i/2]);
}
}

n==3时, 只做了1轮归并.

应采纳第一种写法, 很清楚.


UPD

太SB了.

  1. 根本不用归并, 直接逐个合并就好了.
  2. 根本不用 b[i].copy(a[x]); , 只要从一个边集为空的图 (以下简称"空图") 开始, 不断把$k$个并查集合并进去就好了.
  3. 不从空图开始, 而从某个并查集开始, 会快很多.
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std; const int N{1<<9};
const int M=1e4+5; int n, m; struct DSU{
int par[N];
int cnt; int find(int x){
return par[x]==x?x: par[x]=find(par[x]);
} void unite(int x, int y){
x=find(x);
y=find(y);
if(x!=y){
par[x]=y;
--cnt;
}
} void unite(DSU &a){
for(int i=1; i<=n; i++){
unite(find(i), a.find(i)); // ?
}
} void init(){
for(int i=1; i<=n; i++){
par[i]=i;
}
cnt=n;
} void copy(const DSU &a){
for(int i=1; i<=n; i++){
par[i]=a.par[i];
}
cnt=a.cnt;
}
}; DSU a[M], b[M]; vector<int> g[M]; struct Edge{
int u, v;
void read(){
scanf("%d%d", &u, &v);
}
}E[M]; void dfs(int u, int f){
a[u].copy(a[f]);
a[u].unite(E[u].u, E[u].v); for(auto v: g[u]){
dfs(v, u);
}
} int solve(int n){
if(k==0){
return n;
}
int x;
scanf("%d", &x);
a[0].copy(a[x]);
for(int i=1; i<n; i++){
scanf("%d", &x);
a[0].unite(a[x]);
}
return a[0].cnt;
} int main(){ int T, cas{};
for(cin>>T; T--; ){
printf("Case #%d:\n", ++cas); cin>>n>>m; for(int i=1; i<=m; ++i){
g[i].clear();
} for(int i=2; i<=m; i++){
// scanf("%d", par+i);
int fa;
scanf("%d", &fa);
g[fa].push_back(i);
} for(int i=1; i<=m; ++i){
E[i].read();
} a[0].init();
dfs(1, 0); int q;
cin>>q;
for(; q--; ){
int k;
scanf("%d", &k);
printf("%d\n", solve(k));
}
}
return 0;
}

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