数位dp,需要记录前导0。

数位dp中需要注意统计0,00,000……这些数字。

数位dp的写法可以分为两类。由于我们通常采用记忆化搜索的方式进行dp,所以我们有一个记忆化数组。

一种是记忆化数组的意义是不通用的,对于不同case,该数组的值不同。另一种是通用的,不同case,数组的值不变。

对于第一种情况的实现比较简单,只需要將递归过程的全部参数记录在数组的维度中。

由于要记录全部的参数,数组维度高,所以空间效率低。

由于不同case要重新计算记忆化数组,所以对于多case的评判时间效率低。

模板如下:

long long dfs(int digit, bool less, bool leading_zero, ...)
{
if (digit < )
{
return ...;
}
if (memoize[digit][less][leading_zero][...] != -)
{
return memoize[digit][less][leading_zero][...];
}
int limit = less ? : f[digit];
long long ret = ;
for (int i = ; i <= limit; i++)
{
ret += dfs(digit - , less || i < f[digit], leading_zero && i==, ...);
}
return memoize[digit][less][leading_zero][...] = ret;
}

对于第二种情况,则需要对某些参数进行条件判断,记忆化数组memoize[digit]中记录的是,最低的digit位可以任意取值的情况下,我们所需要的答案。

因而,这种记忆化数组自然不会受到上界的限制。

但是实现起来复杂,如果需要条件判断的变量(在递归参数中,却不在记忆化数组中的变量)过多,则会尤为复杂。

尤其是对于那种多个数字,每个数字都有上界,同时进行dp的情况,不应该使用这种方法,而应选用第一种方法。

模板如下:

long long dfs(int digit, bool less, bool leading_zero, ...)
{
if (digit < )
{
return ...;
}
if (less && !leading_zero && memoize[digit][...] != -)
{
return memoize[digit][...];
}
int limit = less ? : f[digit];
long long ret = ;
for (int i = ; i <= limit; i++)
{
ret += dfs(digit - , less || i < f[digit], leading_zero && i == , ...);
}
if (less && !leading_zero)
{
memoize[digit][...] = ret;
}
return ret;
}

本题答案如下:

#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std; const int MAX_DIGIT = ; long long n;
int f[MAX_DIGIT];
long long memoize[MAX_DIGIT][**];
int pivot; int to_digits(long long a)
{
int ret = ;
while (a > )
{
f[ret++] = a % ;
a /= ;
}
return ret;
} long long dfs(int digit, bool less, bool leading_zero, int zero_num)
{
if (digit < )
{
return zero_num;
}
if (less && !leading_zero && memoize[digit][zero_num] != -)
{
return memoize[digit][zero_num];
}
int limit = less ? : f[digit];
long long ret = ;
for (int i = ; i <= limit; i++)
{
int delta = !leading_zero && i == ? : ;
ret += dfs(digit - , less || i < f[digit], leading_zero && i == , zero_num + delta);
}
if (less && !leading_zero)
{
memoize[digit][zero_num] = ret;
}
return ret;
} long long work(long long n)
{
if (n < )
{
return ;
}
if (n == )
{
return ;
}
int len = to_digits(n);
return dfs(len - , false, true, ) + ;
} int main()
{
int t;
scanf("%d", &t);
memset(memoize, -, sizeof(memoize));
for (int i = ; i <= t; i++)
{
long long a, b;
scanf("%lld%lld", &a, &b);
printf("Case %d: %lld\n", i, work(b) - work(a - ));
}
return ;
}

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