浅谈 Lucas 定理

Lucas 定理是用来求 \(C^n_m\bmod p\) 的。

定理

\[C^n_m\equiv C^{n\bmod p}_{m\bmod p}\cdot C^{\lfloor n/p\rfloor}_{\lfloor m/p\rfloor}\pmod p
\]

证明略

应用

开头不就说了是求组合数的嘛awa

因为卢卡斯定理可以把一个巨大的组合数给拆掉，所以利用这个性质就能够求出 \(C_m^n \bmod p\)，也就是说：

\[C_m^n\equiv C_{m_0}^{n_0}\cdot C_{m_1p}^{n_1p}\cdot C_{m_2p^2}^{n_2p^2}\cdots \pmod p
\]

\[C_m^n\equiv \prod_{i=0}C_{m_ip^i}^{n_ip_i}\pmod p
\]

可快速幂，把 \(m\) 和 \(n\) 拆成 \(p\) 进制数，然后直接暴力。

比如模板题 P3807：

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=100010;  //最大值
typedef long long ll;
ll a[N];
int p;
inline ll qpow(ll n,int k) //快速幂用来求逆元
{
    ll ans=1,base=n;
    while (k)
	{
        if(k&1) ans=ans*base%p;
        base=base*base%p;k>>=1;
    }
    return ans%p;
}
inline ll C(ll m,ll n)  //组合数，有除法用逆元
{
    if (m<n) return 0;
    if (m==n||!n) return 1;
    if (n==1) return m;
    return a[m]*qpow(a[n],p-2)%p*qpow(a[m-n],p-2)%p;
}

inline ll Lucas(ll m,ll n)  //Lucas 代入公式
{
    if (!n) return 1;
    return C(m%p,n%p)*Lucas(m/p,n/p)%p;
}
int main()
{
    int t;
    cin>>t;
    while (t--)  //多组数据
	{
        ll m,n;
        cin>>n>>m>>p;
        a[0]=1;
        for (int i=1;i<=p;i++) a[i]=(a[i-1]*i)%p;  //预处理阶乘用来求组合数
        cout<<Lucas(n+m,m)<<'\n';
    }
    return 0;
}